Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119766 / 118218
↖ ↑ ↗
← S 80.849271°
E148.947144°		 ← 48.56 m → S 80.849271°
E148.949890°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.849707°
E148.947144°		 ← 48.56 m →
2 358 m²		 S 80.849707°
E148.949890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913745880126953 y=0.901935577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913745880126953 × 217)
    floor (0.913745880126953 × 131072)
    floor (119766.5)     		tx = 119766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901935577392578 × 217)
    floor (0.901935577392578 × 131072)
    floor (118218.5)     		ty = 118218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119766 / 118218 ti = "17/119766/118218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119766/118218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119766 ÷ 217
    119766 ÷ 131072     		x = 0.913742065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118218 ÷ 217
    118218 ÷ 131072     		y = 0.901931762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913742065429688 × 2 - 1) × π
    0.827484130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59961807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901931762695312 × 2 - 1) × π
    -0.803863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5254117457838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59961807} λ = 2.59961807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5254117457838))-π/2
    2×atan(0.0800253558993679)-π/2
    2×0.0798551803150354-π/2
    0.159710360630071-1.57079632675     		φ = -1.41108597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59961807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.947144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41108597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.849271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119766 KachelY 118218 2.59961807 -1.41108597 148.947144 -80.849271
    Oben rechts KachelX + 1 119767 KachelY 118218 2.59966600 -1.41108597 148.949890 -80.849271
    Unten links KachelX 119766 KachelY + 1 118219 2.59961807 -1.41109359 148.947144 -80.849707
    Unten rechts KachelX + 1 119767 KachelY + 1 118219 2.59966600 -1.41109359 148.949890 -80.849707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41108597--1.41109359) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dl = 48.5470199992033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41108597--1.41109359) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dr = 48.5470199992033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59961807-2.59966600) × cos(-1.41108597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159032256260866 × 6371000     		do = 48.5624126073279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59961807-2.59966600) × cos(-1.41109359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159024733233037 × 6371000     		du = 48.5601153602783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41108597)-sin(-1.41109359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159032256260866-0.159024733233037)×R²
    abs(2.59966600-2.59961807)×7.52302782885961e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.52302782885961e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.52302782885961e-06×40589641000000     		ar = 2357.50465385151m²