Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119764 / 117972
↖ ↑ ↗
← S 80.741191°
E148.941650°		 ← 49.14 m → S 80.741191°
E148.944397°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
S 80.741633°
E148.941650°		 ← 49.14 m →
2 417 m²		 S 80.741633°
E148.944397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913730621337891 y=0.900058746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913730621337891 × 217)
    floor (0.913730621337891 × 131072)
    floor (119764.5)     		tx = 119764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900058746337891 × 217)
    floor (0.900058746337891 × 131072)
    floor (117972.5)     		ty = 117972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119764 / 117972 ti = "17/119764/117972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119764/117972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119764 ÷ 217
    119764 ÷ 131072     		x = 0.913726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117972 ÷ 217
    117972 ÷ 131072     		y = 0.900054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913726806640625 × 2 - 1) × π
    0.82745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59952219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.80010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51361926847726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59952219} λ = 2.59952219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51361926847726))-π/2
    2×atan(0.0809746392934131)-π/2
    2×0.0807983516543706-π/2
    0.161596703308741-1.57079632675     		φ = -1.40919962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59952219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.941650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40919962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.741191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119764 KachelY 117972 2.59952219 -1.40919962 148.941650 -80.741191
    Oben rechts KachelX + 1 119765 KachelY 117972 2.59957013 -1.40919962 148.944397 -80.741191
    Unten links KachelX 119764 KachelY + 1 117973 2.59952219 -1.40920734 148.941650 -80.741633
    Unten rechts KachelX + 1 119765 KachelY + 1 117973 2.59957013 -1.40920734 148.944397 -80.741633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40919962--1.40920734) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40919962--1.40920734) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59952219-2.59957013) × cos(-1.40919962) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160894315367268 × 6371000     		do = 49.1412653328089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59952219-2.59957013) × cos(-1.40920734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160886695941408 × 6371000     		du = 49.1389381640274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40919962)-sin(-1.40920734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160894315367268-0.160886695941408)×R²
    abs(2.59957013-2.59952219)×7.61942585955633e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61942585955633e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61942585955633e-06×40589641000000     		ar = 2416.91266119294m²