Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119763 / 118638
↖ ↑ ↗
← S 81.030913°
E148.938904°		 ← 47.61 m → S 81.030913°
E148.941650°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
S 81.031341°
E148.938904°		 ← 47.60 m →
2 269 m²		 S 81.031341°
E148.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913722991943359 y=0.905139923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913722991943359 × 217)
    floor (0.913722991943359 × 131072)
    floor (119763.5)     		tx = 119763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905139923095703 × 217)
    floor (0.905139923095703 × 131072)
    floor (118638.5)     		ty = 118638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119763 / 118638 ti = "17/119763/118638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119763/118638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119763 ÷ 217
    119763 ÷ 131072     		x = 0.913719177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118638 ÷ 217
    118638 ÷ 131072     		y = 0.905136108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913719177246094 × 2 - 1) × π
    0.827438354492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.59947426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905136108398438 × 2 - 1) × π
    -0.810272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54554524362422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59947426} λ = 2.59947426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54554524362422))-π/2
    2×atan(0.078430276711986)-π/2
    2×0.0782700513839574-π/2
    0.156540102767915-1.57079632675     		φ = -1.41425622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59947426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.938904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41425622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.030913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119763 KachelY 118638 2.59947426 -1.41425622 148.938904 -81.030913
    Oben rechts KachelX + 1 119764 KachelY 118638 2.59952219 -1.41425622 148.941650 -81.030913
    Unten links KachelX 119763 KachelY + 1 118639 2.59947426 -1.41426370 148.938904 -81.031341
    Unten rechts KachelX + 1 119764 KachelY + 1 118639 2.59952219 -1.41426370 148.941650 -81.031341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41425622--1.41426370) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dl = 47.6550800003801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41425622--1.41426370) × R
    7.48000000005966e-06 × 6371000     		dr = 47.6550800003801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59947426-2.59952219) × cos(-1.41425622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15590155887231 × 6371000     		do = 47.6064164974424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59947426-2.59952219) × cos(-1.41426370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155894170328921 × 6371000     		du = 47.6041603168344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41425622)-sin(-1.41426370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15590155887231-0.155894170328921)×R²
    abs(2.59952219-2.59947426)×7.38854338902528e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.38854338902528e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.38854338902528e-06×40589641000000     		ar = 2268.63382741105m²