Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119762 / 118022
↖ ↑ ↗
← S 80.763260°
E148.936157°		 ← 49.03 m → S 80.763260°
E148.938904°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
S 80.763701°
E148.936157°		 ← 49.02 m →
2 402 m²		 S 80.763701°
E148.938904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913715362548828 y=0.900440216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913715362548828 × 217)
    floor (0.913715362548828 × 131072)
    floor (119762.5)     		tx = 119762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900440216064453 × 217)
    floor (0.900440216064453 × 131072)
    floor (118022.5)     		ty = 118022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119762 / 118022 ti = "17/119762/118022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119762/118022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119762 ÷ 217
    119762 ÷ 131072     		x = 0.913711547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118022 ÷ 217
    118022 ÷ 131072     		y = 0.900436401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913711547851562 × 2 - 1) × π
    0.827423095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59942632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900436401367188 × 2 - 1) × π
    -0.800872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51601611345827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59942632} λ = 2.59942632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51601611345827))-π/2
    2×atan(0.0807807880441352)-π/2
    2×0.0806057601858736-π/2
    0.161211520371747-1.57079632675     		φ = -1.40958481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59942632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.936157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40958481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.763260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119762 KachelY 118022 2.59942632 -1.40958481 148.936157 -80.763260
    Oben rechts KachelX + 1 119763 KachelY 118022 2.59947426 -1.40958481 148.938904 -80.763260
    Unten links KachelX 119762 KachelY + 1 118023 2.59942632 -1.40959250 148.936157 -80.763701
    Unten rechts KachelX + 1 119763 KachelY + 1 118023 2.59947426 -1.40959250 148.938904 -80.763701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40958481--1.40959250) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40958481--1.40959250) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59942632-2.59947426) × cos(-1.40958481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160514131834387 × 6371000     		do = 49.0251474959431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59942632-2.59947426) × cos(-1.40959250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160506541541701 × 6371000     		du = 49.0228292251827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40958481)-sin(-1.40959250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160514131834387-0.160506541541701)×R²
    abs(2.59947426-2.59942632)×7.5902926858773e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.5902926858773e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5902926858773e-06×40589641000000     		ar = 2401.83177159346m²