Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11976 / 12824
↖ ↑ ↗
← S 70.786910°
E 83.144532°		 ← 804.02 m → S 70.786910°
E 83.166504°		 →
↑
803.89 m
↓
↑
803.89 m
↓
S 70.794139°
E 83.144532°		 ← 803.73 m →
646 228 m²		 S 70.794139°
E 83.166504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.730987548828125 y=0.782745361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.730987548828125 × 214)
    floor (0.730987548828125 × 16384)
    floor (11976.5)     		tx = 11976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782745361328125 × 214)
    floor (0.782745361328125 × 16384)
    floor (12824.5)     		ty = 12824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11976 / 12824 ti = "14/11976/12824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11976/12824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11976 ÷ 214
    11976 ÷ 16384     		x = 0.73095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12824 ÷ 214
    12824 ÷ 16384     		y = 0.78271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73095703125 × 2 - 1) × π
    0.4619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.45114583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78271484375 × 2 - 1) × π
    -0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45114583} λ = 1.45114583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7763497523208))-π/2
    2×atan(0.169254843135863)-π/2
    2×0.167665841385325-π/2
    0.33533168277065-1.57079632675     		φ = -1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45114583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.144532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11976 KachelY 12824 1.45114583 -1.23546464 83.144532 -70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 11977 KachelY 12824 1.45152932 -1.23546464 83.166504 -70.786910
    Unten links KachelX 11976 KachelY + 1 12825 1.45114583 -1.23559082 83.144532 -70.794139
    Unten rechts KachelX + 1 11977 KachelY + 1 12825 1.45152932 -1.23559082 83.166504 -70.794139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23546464--1.23559082) × R
    0.000126180000000087 × 6371000     		dl = 803.892780000553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23546464--1.23559082) × R
    0.000126180000000087 × 6371000     		dr = 803.892780000553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45114583-1.45152932) × cos(-1.23546464) × R
    0.000383489999999931 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 804.018987326202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45114583-1.45152932) × cos(-1.23559082) × R
    0.000383489999999931 × 0.328963245665876 × 6371000     		du = 803.727867177126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23546464)-sin(-1.23559082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.328963245665876)×R²
    abs(1.45152932-1.45114583)×0.000119154545997424×R²
    0.000383489999999931×0.000119154545997424×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119154545997424×40589641000000     		ar = 646228.045060103m²