Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119759 / 119005
↖ ↑ ↗
← S 81.186703°
E148.927918°		 ← 46.79 m → S 81.186703°
E148.930664°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.187124°
E148.927918°		 ← 46.78 m →
2 188 m²		 S 81.187124°
E148.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913692474365234 y=0.907939910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913692474365234 × 217)
    floor (0.913692474365234 × 131072)
    floor (119759.5)     		tx = 119759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907939910888672 × 217)
    floor (0.907939910888672 × 131072)
    floor (119005.5)     		ty = 119005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119759 / 119005 ti = "17/119759/119005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119759/119005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119759 ÷ 217
    119759 ÷ 131072     		x = 0.913688659667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119005 ÷ 217
    119005 ÷ 131072     		y = 0.907936096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913688659667969 × 2 - 1) × π
    0.827377319335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59928251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907936096191406 × 2 - 1) × π
    -0.815872192382812 × 3.1415926535     		Φ = -2.56313808578478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59928251} λ = 2.59928251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56313808578478))-π/2
    2×atan(0.0770625317707786)-π/2
    2×0.0769105243155483-π/2
    0.153821048631097-1.57079632675     		φ = -1.41697528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59928251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.927918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41697528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.186703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119759 KachelY 119005 2.59928251 -1.41697528 148.927918 -81.186703
    Oben rechts KachelX + 1 119760 KachelY 119005 2.59933044 -1.41697528 148.930664 -81.186703
    Unten links KachelX 119759 KachelY + 1 119006 2.59928251 -1.41698262 148.927918 -81.187124
    Unten rechts KachelX + 1 119760 KachelY + 1 119006 2.59933044 -1.41698262 148.930664 -81.187124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41697528--1.41698262) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41697528--1.41698262) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59928251-2.59933044) × cos(-1.41697528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15321517291129 × 6371000     		do = 46.7860962270212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59928251-2.59933044) × cos(-1.41698262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153207919571637 × 6371000     		du = 46.7838813325003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41697528)-sin(-1.41698262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15321517291129-0.153207919571637)×R²
    abs(2.59933044-2.59928251)×7.25333965367891e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.25333965367891e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.25333965367891e-06×40589641000000     		ar = 2187.81298033406m²