Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119756 / 118084
↖ ↑ ↗
← S 80.790554°
E148.919678°		 ← 48.87 m → S 80.790554°
E148.922424°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.790993°
E148.919678°		 ← 48.87 m →
2 388 m²		 S 80.790993°
E148.922424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913669586181641 y=0.900913238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913669586181641 × 217)
    floor (0.913669586181641 × 131072)
    floor (119756.5)     		tx = 119756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900913238525391 × 217)
    floor (0.900913238525391 × 131072)
    floor (118084.5)     		ty = 118084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119756 / 118084 ti = "17/119756/118084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119756/118084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119756 ÷ 217
    119756 ÷ 131072     		x = 0.913665771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118084 ÷ 217
    118084 ÷ 131072     		y = 0.900909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913665771484375 × 2 - 1) × π
    0.82733154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59913870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.80181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51898820123471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59913870} λ = 2.59913870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51898820123471))-π/2
    2×atan(0.0805410568789188)-π/2
    2×0.0803675786746044-π/2
    0.160735157349209-1.57079632675     		φ = -1.41006117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59913870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.919678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41006117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.790554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119756 KachelY 118084 2.59913870 -1.41006117 148.919678 -80.790554
    Oben rechts KachelX + 1 119757 KachelY 118084 2.59918663 -1.41006117 148.922424 -80.790554
    Unten links KachelX 119756 KachelY + 1 118085 2.59913870 -1.41006884 148.919678 -80.790993
    Unten rechts KachelX + 1 119757 KachelY + 1 118085 2.59918663 -1.41006884 148.922424 -80.790993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41006117--1.41006884) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41006117--1.41006884) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59913870-2.59918663) × cos(-1.41006117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160043930342153 × 6371000     		do = 48.8713394584884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59913870-2.59918663) × cos(-1.41006884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160036359204568 × 6371000     		du = 48.869027520546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41006117)-sin(-1.41006884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160043930342153-0.160036359204568)×R²
    abs(2.59918663-2.59913870)×7.57113758492745e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.57113758492745e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.57113758492745e-06×40589641000000     		ar = 2388.06937225252m²