Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119755 / 118637
↖ ↑ ↗
← S 81.030485°
E148.916931°		 ← 47.62 m → S 81.030485°
E148.919678°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
S 81.030913°
E148.916931°		 ← 47.62 m →
2 266 m²		 S 81.030913°
E148.919678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913661956787109 y=0.905132293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913661956787109 × 217)
    floor (0.913661956787109 × 131072)
    floor (119755.5)     		tx = 119755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905132293701172 × 217)
    floor (0.905132293701172 × 131072)
    floor (118637.5)     		ty = 118637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119755 / 118637 ti = "17/119755/118637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119755/118637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119755 ÷ 217
    119755 ÷ 131072     		x = 0.913658142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118637 ÷ 217
    118637 ÷ 131072     		y = 0.905128479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913658142089844 × 2 - 1) × π
    0.827316284179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.59909076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905128479003906 × 2 - 1) × π
    -0.810256958007812 × 3.1415926535     		Φ = -2.5454973067246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59909076} λ = 2.59909076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5454973067246))-π/2
    2×atan(0.0784340365064036)-π/2
    2×0.0782737881910208-π/2
    0.156547576382042-1.57079632675     		φ = -1.41424875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59909076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.916931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41424875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.030485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119755 KachelY 118637 2.59909076 -1.41424875 148.916931 -81.030485
    Oben rechts KachelX + 1 119756 KachelY 118637 2.59913870 -1.41424875 148.919678 -81.030485
    Unten links KachelX 119755 KachelY + 1 118638 2.59909076 -1.41425622 148.916931 -81.030913
    Unten rechts KachelX + 1 119756 KachelY + 1 118638 2.59913870 -1.41425622 148.919678 -81.030913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41424875--1.41425622) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dl = 47.5913699993527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41424875--1.41425622) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dr = 47.5913699993527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59909076-2.59913870) × cos(-1.41424875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155908937529262 × 6371000     		do = 47.6186026174575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59909076-2.59913870) × cos(-1.41425622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15590155887231 × 6371000     		du = 47.6163489856978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41424875)-sin(-1.41425622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155908937529262-0.15590155887231)×R²
    abs(2.59913870-2.59909076)×7.37865695180084e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.37865695180084e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.37865695180084e-06×40589641000000     		ar = 2266.18090923731m²