Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119755 / 118091
↖ ↑ ↗
← S 80.793630°
E148.916931°		 ← 48.87 m → S 80.793630°
E148.919678°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.794070°
E148.916931°		 ← 48.86 m →
2 388 m²		 S 80.794070°
E148.919678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913661956787109 y=0.900966644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913661956787109 × 217)
    floor (0.913661956787109 × 131072)
    floor (119755.5)     		tx = 119755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900966644287109 × 217)
    floor (0.900966644287109 × 131072)
    floor (118091.5)     		ty = 118091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119755 / 118091 ti = "17/119755/118091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119755/118091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119755 ÷ 217
    119755 ÷ 131072     		x = 0.913658142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118091 ÷ 217
    118091 ÷ 131072     		y = 0.900962829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913658142089844 × 2 - 1) × π
    0.827316284179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.59909076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900962829589844 × 2 - 1) × π
    -0.801925659179688 × 3.1415926535     		Φ = -2.51932375953205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59909076} λ = 2.59909076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51932375953205))-π/2
    2×atan(0.0805140351929356)-π/2
    2×0.0803407310867908-π/2
    0.160681462173582-1.57079632675     		φ = -1.41011486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59909076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.916931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41011486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.793630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119755 KachelY 118091 2.59909076 -1.41011486 148.916931 -80.793630
    Oben rechts KachelX + 1 119756 KachelY 118091 2.59913870 -1.41011486 148.919678 -80.793630
    Unten links KachelX 119755 KachelY + 1 118092 2.59909076 -1.41012253 148.916931 -80.794070
    Unten rechts KachelX + 1 119756 KachelY + 1 118092 2.59913870 -1.41012253 148.919678 -80.794070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41011486--1.41012253) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41011486--1.41012253) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59909076-2.59913870) × cos(-1.41011486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159990932181364 × 6371000     		do = 48.865348854751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59909076-2.59913870) × cos(-1.41012253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159983360977886 × 6371000     		du = 48.8630364143258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41011486)-sin(-1.41012253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159990932181364-0.159983360977886)×R²
    abs(2.59913870-2.59909076)×7.57120347891216e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57120347891216e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57120347891216e-06×40589641000000     		ar = 2387.77662587833m²