Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119754 / 117962
↖ ↑ ↗
← S 80.736771°
E148.914184°		 ← 49.16 m → S 80.736771°
E148.916931°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
S 80.737213°
E148.914184°		 ← 49.16 m →
2 415 m²		 S 80.737213°
E148.916931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913654327392578 y=0.899982452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913654327392578 × 217)
    floor (0.913654327392578 × 131072)
    floor (119754.5)     		tx = 119754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899982452392578 × 217)
    floor (0.899982452392578 × 131072)
    floor (117962.5)     		ty = 117962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119754 / 117962 ti = "17/119754/117962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119754/117962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119754 ÷ 217
    119754 ÷ 131072     		x = 0.913650512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117962 ÷ 217
    117962 ÷ 131072     		y = 0.899978637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913650512695312 × 2 - 1) × π
    0.827301025390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59904282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899978637695312 × 2 - 1) × π
    -0.799957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51313989948106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59904282} λ = 2.59904282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51313989948106))-π/2
    2×atan(0.0810134653302245)-π/2
    2×0.0808369246509116-π/2
    0.161673849301823-1.57079632675     		φ = -1.40912248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59904282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.914184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40912248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.736771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119754 KachelY 117962 2.59904282 -1.40912248 148.914184 -80.736771
    Oben rechts KachelX + 1 119755 KachelY 117962 2.59909076 -1.40912248 148.916931 -80.736771
    Unten links KachelX 119754 KachelY + 1 117963 2.59904282 -1.40913019 148.914184 -80.737213
    Unten rechts KachelX + 1 119755 KachelY + 1 117963 2.59909076 -1.40913019 148.916931 -80.737213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40912248--1.40913019) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40912248--1.40913019) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59904282-2.59909076) × cos(-1.40912248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160970449880838 × 6371000     		do = 49.1645187729557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59904282-2.59909076) × cos(-1.40913019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16096284042042 × 6371000     		du = 49.1621946478764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40912248)-sin(-1.40913019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160970449880838-0.16096284042042)×R²
    abs(2.59909076-2.59904282)×7.60946041861166e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60946041861166e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60946041861166e-06×40589641000000     		ar = 2414.92423848345m²