Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119753 / 118635
↖ ↑ ↗
← S 81.029628°
E148.911438°		 ← 47.61 m → S 81.029628°
E148.914184°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
S 81.030057°
E148.911438°		 ← 47.61 m →
2 269 m²		 S 81.030057°
E148.914184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913646697998047 y=0.905117034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913646697998047 × 217)
    floor (0.913646697998047 × 131072)
    floor (119753.5)     		tx = 119753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905117034912109 × 217)
    floor (0.905117034912109 × 131072)
    floor (118635.5)     		ty = 118635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119753 / 118635 ti = "17/119753/118635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119753/118635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119753 ÷ 217
    119753 ÷ 131072     		x = 0.913642883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118635 ÷ 217
    118635 ÷ 131072     		y = 0.905113220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913642883300781 × 2 - 1) × π
    0.827285766601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59899489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905113220214844 × 2 - 1) × π
    -0.810226440429688 × 3.1415926535     		Φ = -2.54540143292536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59899489} λ = 2.59899489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54540143292536))-π/2
    2×atan(0.0784415566359592)-π/2
    2×0.0782812623359896-π/2
    0.156562524671979-1.57079632675     		φ = -1.41423380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59899489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.911438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41423380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.029628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119753 KachelY 118635 2.59899489 -1.41423380 148.911438 -81.029628
    Oben rechts KachelX + 1 119754 KachelY 118635 2.59904282 -1.41423380 148.914184 -81.029628
    Unten links KachelX 119753 KachelY + 1 118636 2.59899489 -1.41424128 148.911438 -81.030057
    Unten rechts KachelX + 1 119754 KachelY + 1 118636 2.59904282 -1.41424128 148.914184 -81.030057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41423380--1.41424128) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dl = 47.6550799989655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41423380--1.41424128) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dr = 47.6550799989655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59899489-2.59904282) × cos(-1.41423380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155923704694757 × 6371000     		do = 47.6131789907407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59899489-2.59904282) × cos(-1.41424128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155916316177514 × 6371000     		du = 47.6109228181168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41423380)-sin(-1.41424128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155923704694757-0.155916316177514)×R²
    abs(2.59904282-2.59899489)×7.38851724263467e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.38851724263467e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.38851724263467e-06×40589641000000     		ar = 2268.9560947151m²