Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119753 / 118103
↖ ↑ ↗
← S 80.798902°
E148.911438°		 ← 48.83 m → S 80.798902°
E148.914184°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.799341°
E148.911438°		 ← 48.83 m →
2 386 m²		 S 80.799341°
E148.914184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913646697998047 y=0.901058197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913646697998047 × 217)
    floor (0.913646697998047 × 131072)
    floor (119753.5)     		tx = 119753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901058197021484 × 217)
    floor (0.901058197021484 × 131072)
    floor (118103.5)     		ty = 118103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119753 / 118103 ti = "17/119753/118103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119753/118103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119753 ÷ 217
    119753 ÷ 131072     		x = 0.913642883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118103 ÷ 217
    118103 ÷ 131072     		y = 0.901054382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913642883300781 × 2 - 1) × π
    0.827285766601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59899489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901054382324219 × 2 - 1) × π
    -0.802108764648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.51989900232749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59899489} λ = 2.59899489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51989900232749))-π/2
    2×atan(0.0804677333929242)-π/2
    2×0.0802947273350868-π/2
    0.160589454670174-1.57079632675     		φ = -1.41020687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59899489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.911438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41020687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.798902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119753 KachelY 118103 2.59899489 -1.41020687 148.911438 -80.798902
    Oben rechts KachelX + 1 119754 KachelY 118103 2.59904282 -1.41020687 148.914184 -80.798902
    Unten links KachelX 119753 KachelY + 1 118104 2.59899489 -1.41021454 148.911438 -80.799341
    Unten rechts KachelX + 1 119754 KachelY + 1 118104 2.59904282 -1.41021454 148.914184 -80.799341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41020687--1.41021454) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41020687--1.41021454) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59899489-2.59904282) × cos(-1.41020687) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159900106732543 × 6371000     		do = 48.827421189096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59899489-2.59904282) × cos(-1.41021454) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159892535416191 × 6371000     		du = 48.8251091965648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41020687)-sin(-1.41021454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159900106732543-0.159892535416191)×R²
    abs(2.59904282-2.59899489)×7.57131635248376e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.57131635248376e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.57131635248376e-06×40589641000000     		ar = 2385.92327978959m²