Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119753 / 118086
↖ ↑ ↗
← S 80.791433°
E148.911438°		 ← 48.87 m → S 80.791433°
E148.914184°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.791872°
E148.911438°		 ← 48.86 m →
2 388 m²		 S 80.791872°
E148.914184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913646697998047 y=0.900928497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913646697998047 × 217)
    floor (0.913646697998047 × 131072)
    floor (119753.5)     		tx = 119753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900928497314453 × 217)
    floor (0.900928497314453 × 131072)
    floor (118086.5)     		ty = 118086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119753 / 118086 ti = "17/119753/118086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119753/118086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119753 ÷ 217
    119753 ÷ 131072     		x = 0.913642883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118086 ÷ 217
    118086 ÷ 131072     		y = 0.900924682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913642883300781 × 2 - 1) × π
    0.827285766601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59899489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900924682617188 × 2 - 1) × π
    -0.801849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51908407503395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59899489} λ = 2.59899489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51908407503395))-π/2
    2×atan(0.0805333354719472)-π/2
    2×0.0803599070277752-π/2
    0.16071981405555-1.57079632675     		φ = -1.41007651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59899489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.911438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41007651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.791433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119753 KachelY 118086 2.59899489 -1.41007651 148.911438 -80.791433
    Oben rechts KachelX + 1 119754 KachelY 118086 2.59904282 -1.41007651 148.914184 -80.791433
    Unten links KachelX 119753 KachelY + 1 118087 2.59899489 -1.41008418 148.911438 -80.791872
    Unten rechts KachelX + 1 119754 KachelY + 1 118087 2.59904282 -1.41008418 148.914184 -80.791872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41007651--1.41008418) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41007651--1.41008418) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59899489-2.59904282) × cos(-1.41007651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160028788057569 × 6371000     		do = 48.8667155797289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59899489-2.59904282) × cos(-1.41008418) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160021216901155 × 6371000     		du = 48.8644036360368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41007651)-sin(-1.41008418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160028788057569-0.160021216901155)×R²
    abs(2.59904282-2.59899489)×7.57115641400463e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.57115641400463e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.57115641400463e-06×40589641000000     		ar = 2387.84342357308m²