Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119751 / 119003
↖ ↑ ↗
← S 81.185862°
E148.905945°		 ← 46.80 m → S 81.185862°
E148.908691°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.186282°
E148.905945°		 ← 46.80 m →
2 188 m²		 S 81.186282°
E148.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913631439208984 y=0.907924652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913631439208984 × 217)
    floor (0.913631439208984 × 131072)
    floor (119751.5)     		tx = 119751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907924652099609 × 217)
    floor (0.907924652099609 × 131072)
    floor (119003.5)     		ty = 119003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119751 / 119003 ti = "17/119751/119003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119751/119003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119751 ÷ 217
    119751 ÷ 131072     		x = 0.913627624511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119003 ÷ 217
    119003 ÷ 131072     		y = 0.907920837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913627624511719 × 2 - 1) × π
    0.827255249023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.59889901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907920837402344 × 2 - 1) × π
    -0.815841674804688 × 3.1415926535     		Φ = -2.56304221198554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59889901} λ = 2.59889901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56304221198554))-π/2
    2×atan(0.0770699204026609)-π/2
    2×0.0769178693239333-π/2
    0.153835738647867-1.57079632675     		φ = -1.41696059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59889901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.905945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41696059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.185862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119751 KachelY 119003 2.59889901 -1.41696059 148.905945 -81.185862
    Oben rechts KachelX + 1 119752 KachelY 119003 2.59894695 -1.41696059 148.908691 -81.185862
    Unten links KachelX 119751 KachelY + 1 119004 2.59889901 -1.41696793 148.905945 -81.186282
    Unten rechts KachelX + 1 119752 KachelY + 1 119004 2.59894695 -1.41696793 148.908691 -81.186282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41696059--1.41696793) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41696059--1.41696793) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59889901-2.59894695) × cos(-1.41696059) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.153229689447739 × 6371000     		do = 46.8002912899488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59889901-2.59894695) × cos(-1.41696793) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.153222436124607 × 6371000     		du = 46.7980759383635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41696059)-sin(-1.41696793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153229689447739-0.153222436124607)×R²
    abs(2.59894695-2.59889901)×7.25332313289417e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.25332313289417e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.25332313289417e-06×40589641000000     		ar = 2188.47677535475m²