Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119751 / 118739
↖ ↑ ↗
← S 81.074057°
E148.905945°		 ← 47.39 m → S 81.074057°
E148.908691°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
S 81.074484°
E148.905945°		 ← 47.39 m →
2 246 m²		 S 81.074484°
E148.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913631439208984 y=0.905910491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913631439208984 × 217)
    floor (0.913631439208984 × 131072)
    floor (119751.5)     		tx = 119751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905910491943359 × 217)
    floor (0.905910491943359 × 131072)
    floor (118739.5)     		ty = 118739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119751 / 118739 ti = "17/119751/118739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119751/118739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119751 ÷ 217
    119751 ÷ 131072     		x = 0.913627624511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118739 ÷ 217
    118739 ÷ 131072     		y = 0.905906677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913627624511719 × 2 - 1) × π
    0.827255249023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.59889901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905906677246094 × 2 - 1) × π
    -0.811813354492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.55038687048585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59889901} λ = 2.59889901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55038687048585))-π/2
    2×atan(0.0780514643515316)-π/2
    2×0.0778935438690333-π/2
    0.155787087738067-1.57079632675     		φ = -1.41500924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59889901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.905945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41500924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119751 KachelY 118739 2.59889901 -1.41500924 148.905945 -81.074057
    Oben rechts KachelX + 1 119752 KachelY 118739 2.59894695 -1.41500924 148.908691 -81.074057
    Unten links KachelX 119751 KachelY + 1 118740 2.59889901 -1.41501668 148.905945 -81.074484
    Unten rechts KachelX + 1 119752 KachelY + 1 118740 2.59894695 -1.41501668 148.908691 -81.074484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41500924--1.41501668) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41500924--1.41501668) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59889901-2.59894695) × cos(-1.41500924) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.155157702220261 × 6371000     		do = 47.3891560177307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59889901-2.59894695) × cos(-1.41501668) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.155150352316493 × 6371000     		du = 47.3869111679335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41500924)-sin(-1.41501668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155157702220261-0.155150352316493)×R²
    abs(2.59894695-2.59889901)×7.34990376777267e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.34990376777267e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.34990376777267e-06×40589641000000     		ar = 2246.2041653124m²