Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119750 / 119614
↖ ↑ ↗
← S 81.439319°
E148.903198°		 ← 45.46 m → S 81.439319°
E148.905945°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
S 81.439728°
E148.903198°		 ← 45.45 m →
2 065 m²		 S 81.439728°
E148.905945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913623809814453 y=0.912586212158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913623809814453 × 217)
    floor (0.913623809814453 × 131072)
    floor (119750.5)     		tx = 119750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912586212158203 × 217)
    floor (0.912586212158203 × 131072)
    floor (119614.5)     		ty = 119614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119750 / 119614 ti = "17/119750/119614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119750/119614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119750 ÷ 217
    119750 ÷ 131072     		x = 0.913619995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119614 ÷ 217
    119614 ÷ 131072     		y = 0.912582397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913619995117188 × 2 - 1) × π
    0.827239990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59885108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912582397460938 × 2 - 1) × π
    -0.825164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5923316576534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59885108} λ = 2.59885108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5923316576534))-π/2
    2×atan(0.0748453228043027)-π/2
    2×0.07470603393442-π/2
    0.14941206786884-1.57079632675     		φ = -1.42138426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59885108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42138426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.439319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119750 KachelY 119614 2.59885108 -1.42138426 148.903198 -81.439319
    Oben rechts KachelX + 1 119751 KachelY 119614 2.59889901 -1.42138426 148.905945 -81.439319
    Unten links KachelX 119750 KachelY + 1 119615 2.59885108 -1.42139139 148.903198 -81.439728
    Unten rechts KachelX + 1 119751 KachelY + 1 119615 2.59889901 -1.42139139 148.905945 -81.439728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42138426--1.42139139) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dl = 45.4252299997855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42138426--1.42139139) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dr = 45.4252299997855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59885108-2.59889901) × cos(-1.42138426) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.148856775330327 × 6371000     		do = 45.4552070937291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59885108-2.59889901) × cos(-1.42139139) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.148849724763537 × 6371000     		du = 45.4530541183415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42138426)-sin(-1.42139139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148856775330327-0.148849724763537)×R²
    abs(2.59889901-2.59885108)×7.05056679004001e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.05056679004001e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.05056679004001e-06×40589641000000     		ar = 2064.76433723028m²