Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119749 / 118079
↖ ↑ ↗
← S 80.788355°
E148.900452°		 ← 48.89 m → S 80.788355°
E148.903198°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
S 80.788795°
E148.900452°		 ← 48.89 m →
2 392 m²		 S 80.788795°
E148.903198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913616180419922 y=0.900875091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913616180419922 × 217)
    floor (0.913616180419922 × 131072)
    floor (119749.5)     		tx = 119749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900875091552734 × 217)
    floor (0.900875091552734 × 131072)
    floor (118079.5)     		ty = 118079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119749 / 118079 ti = "17/119749/118079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119749/118079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119749 ÷ 217
    119749 ÷ 131072     		x = 0.913612365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118079 ÷ 217
    118079 ÷ 131072     		y = 0.900871276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913612365722656 × 2 - 1) × π
    0.827224731445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.59880314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900871276855469 × 2 - 1) × π
    -0.801742553710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.51874851673661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59880314} λ = 2.59880314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51874851673661))-π/2
    2×atan(0.080560363635386)-π/2
    2×0.0803867609683517-π/2
    0.160773521936703-1.57079632675     		φ = -1.41002280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59880314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.900452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41002280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.788355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119749 KachelY 118079 2.59880314 -1.41002280 148.900452 -80.788355
    Oben rechts KachelX + 1 119750 KachelY 118079 2.59885108 -1.41002280 148.903198 -80.788355
    Unten links KachelX 119749 KachelY + 1 118080 2.59880314 -1.41003048 148.900452 -80.788795
    Unten rechts KachelX + 1 119750 KachelY + 1 118080 2.59885108 -1.41003048 148.903198 -80.788795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41002280--1.41003048) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dl = 48.9292800011241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41002280--1.41003048) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dr = 48.9292800011241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59880314-2.59885108) × cos(-1.41002280) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.160081805630916 × 6371000     		do = 48.8931039457795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59880314-2.59885108) × cos(-1.41003048) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.160074224669386 × 6371000     		du = 48.8907885249943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41002280)-sin(-1.41003048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160081805630916-0.160074224669386)×R²
    abs(2.59885108-2.59880314)×7.58096152983501e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.58096152983501e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.58096152983501e-06×40589641000000     		ar = 2392.24772733742m²