Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119745 / 119007
↖ ↑ ↗
← S 81.187545°
E148.889465°		 ← 46.79 m → S 81.187545°
E148.892212°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.187965°
E148.889465°		 ← 46.79 m →
2 188 m²		 S 81.187965°
E148.892212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913585662841797 y=0.907955169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913585662841797 × 217)
    floor (0.913585662841797 × 131072)
    floor (119745.5)     		tx = 119745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907955169677734 × 217)
    floor (0.907955169677734 × 131072)
    floor (119007.5)     		ty = 119007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119745 / 119007 ti = "17/119745/119007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119745/119007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119745 ÷ 217
    119745 ÷ 131072     		x = 0.913581848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119007 ÷ 217
    119007 ÷ 131072     		y = 0.907951354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913581848144531 × 2 - 1) × π
    0.827163696289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.59861139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907951354980469 × 2 - 1) × π
    -0.815902709960938 × 3.1415926535     		Φ = -2.56323395958402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59861139} λ = 2.59861139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56323395958402))-π/2
    2×atan(0.0770551438472384)-π/2
    2×0.0769031800030096-π/2
    0.153806360006019-1.57079632675     		φ = -1.41698997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59861139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.889465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41698997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.187545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119745 KachelY 119007 2.59861139 -1.41698997 148.889465 -81.187545
    Oben rechts KachelX + 1 119746 KachelY 119007 2.59865933 -1.41698997 148.892212 -81.187545
    Unten links KachelX 119745 KachelY + 1 119008 2.59861139 -1.41699731 148.889465 -81.187965
    Unten rechts KachelX + 1 119746 KachelY + 1 119008 2.59865933 -1.41699731 148.892212 -81.187965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41698997--1.41699731) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41698997--1.41699731) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59861139-2.59865933) × cos(-1.41698997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153200656341778 × 6371000     		do = 46.7914238316425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59861139-2.59865933) × cos(-1.41699731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153193402985605 × 6371000     		du = 46.7892084699659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41698997)-sin(-1.41699731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153200656341778-0.153193402985605)×R²
    abs(2.59865933-2.59861139)×7.25335617285383e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.25335617285383e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.25335617285383e-06×40589641000000     		ar = 2188.06210476358m²