Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119744 / 119617
↖ ↑ ↗
← S 81.440545°
E148.886718°		 ← 45.46 m → S 81.440545°
E148.889465°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
S 81.440954°
E148.886718°		 ← 45.46 m →
2 068 m²		 S 81.440954°
E148.889465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913578033447266 y=0.912609100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913578033447266 × 217)
    floor (0.913578033447266 × 131072)
    floor (119744.5)     		tx = 119744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912609100341797 × 217)
    floor (0.912609100341797 × 131072)
    floor (119617.5)     		ty = 119617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119744 / 119617 ti = "17/119744/119617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119744/119617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119744 ÷ 217
    119744 ÷ 131072     		x = 0.91357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119617 ÷ 217
    119617 ÷ 131072     		y = 0.912605285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59856345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912605285644531 × 2 - 1) × π
    -0.825210571289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.59247546835226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59856345} λ = 2.59856345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59247546835226))-π/2
    2×atan(0.0748345600200441)-π/2
    2×0.0746953310969344-π/2
    0.149390662193869-1.57079632675     		φ = -1.42140566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59856345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42140566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.440545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119744 KachelY 119617 2.59856345 -1.42140566 148.886718 -81.440545
    Oben rechts KachelX + 1 119745 KachelY 119617 2.59861139 -1.42140566 148.889465 -81.440545
    Unten links KachelX 119744 KachelY + 1 119618 2.59856345 -1.42141280 148.886718 -81.440954
    Unten rechts KachelX + 1 119745 KachelY + 1 119618 2.59861139 -1.42141280 148.889465 -81.440954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42140566--1.42141280) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dl = 45.4889399993983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42140566--1.42141280) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dr = 45.4889399993983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59856345-2.59861139) × cos(-1.42140566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148835613718636 × 6371000     		do = 45.4582274583388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59856345-2.59861139) × cos(-1.42141280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148828553240505 × 6371000     		du = 45.4560710065809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42140566)-sin(-1.42141280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148835613718636-0.148828553240505)×R²
    abs(2.59861139-2.59856345)×7.06047813084365e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06047813084365e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06047813084365e-06×40589641000000     		ar = 2067.79753396602m²