Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119744 / 119615
↖ ↑ ↗
← S 81.439728°
E148.886718°		 ← 45.46 m → S 81.439728°
E148.889465°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
S 81.440137°
E148.886718°		 ← 45.46 m →
2 068 m²		 S 81.440137°
E148.889465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913578033447266 y=0.912593841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913578033447266 × 217)
    floor (0.913578033447266 × 131072)
    floor (119744.5)     		tx = 119744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912593841552734 × 217)
    floor (0.912593841552734 × 131072)
    floor (119615.5)     		ty = 119615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119744 / 119615 ti = "17/119744/119615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119744/119615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119744 ÷ 217
    119744 ÷ 131072     		x = 0.91357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119615 ÷ 217
    119615 ÷ 131072     		y = 0.912590026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59856345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912590026855469 × 2 - 1) × π
    -0.825180053710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.59237959455302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59856345} λ = 2.59856345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59237959455302))-π/2
    2×atan(0.0748417350375703)-π/2
    2×0.0747024661528084-π/2
    0.149404932305617-1.57079632675     		φ = -1.42139139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59856345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42139139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.439728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119744 KachelY 119615 2.59856345 -1.42139139 148.886718 -81.439728
    Oben rechts KachelX + 1 119745 KachelY 119615 2.59861139 -1.42139139 148.889465 -81.439728
    Unten links KachelX 119744 KachelY + 1 119616 2.59856345 -1.42139853 148.886718 -81.440137
    Unten rechts KachelX + 1 119745 KachelY + 1 119616 2.59861139 -1.42139853 148.889465 -81.440137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42139139--1.42139853) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dl = 45.4889400008129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42139139--1.42139853) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dr = 45.4889400008129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59856345-2.59861139) × cos(-1.42139139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148849724763537 × 6371000     		do = 45.4625373346697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59856345-2.59861139) × cos(-1.42139853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14884266430057 × 6371000     		du = 45.4603808875435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42139139)-sin(-1.42139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148849724763537-0.14884266430057)×R²
    abs(2.59861139-2.59856345)×7.06046296616858e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06046296616858e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06046296616858e-06×40589641000000     		ar = 2067.99358586825m²