Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119743 / 118579
↖ ↑ ↗
← S 81.005614°
E148.883972°		 ← 47.74 m → S 81.005614°
E148.886718°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
S 81.006043°
E148.883972°		 ← 47.74 m →
2 281 m²		 S 81.006043°
E148.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913570404052734 y=0.904689788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913570404052734 × 217)
    floor (0.913570404052734 × 131072)
    floor (119743.5)     		tx = 119743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904689788818359 × 217)
    floor (0.904689788818359 × 131072)
    floor (118579.5)     		ty = 118579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119743 / 118579 ti = "17/119743/118579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119743/118579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119743 ÷ 217
    119743 ÷ 131072     		x = 0.913566589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118579 ÷ 217
    118579 ÷ 131072     		y = 0.904685974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913566589355469 × 2 - 1) × π
    0.827133178710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59851552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904685974121094 × 2 - 1) × π
    -0.809371948242188 × 3.1415926535     		Φ = -2.54271696654664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59851552} λ = 2.59851552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54271696654664))-π/2
    2×atan(0.0786524132495624)-π/2
    2×0.078490826018694-π/2
    0.156981652037388-1.57079632675     		φ = -1.41381467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59851552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.883972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41381467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.005614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119743 KachelY 118579 2.59851552 -1.41381467 148.883972 -81.005614
    Oben rechts KachelX + 1 119744 KachelY 118579 2.59856345 -1.41381467 148.886718 -81.005614
    Unten links KachelX 119743 KachelY + 1 118580 2.59851552 -1.41382217 148.883972 -81.006043
    Unten rechts KachelX + 1 119744 KachelY + 1 118580 2.59856345 -1.41382217 148.886718 -81.006043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41381467--1.41382217) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41381467--1.41382217) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59851552-2.59856345) × cos(-1.41381467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156337694650685 × 6371000     		do = 47.7395958040825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59851552-2.59856345) × cos(-1.41382217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156330286868818 × 6371000     		du = 47.7373337487739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41381467)-sin(-1.41382217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156337694650685-0.156330286868818)×R²
    abs(2.59856345-2.59851552)×7.40778186680835e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.40778186680835e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.40778186680835e-06×40589641000000     		ar = 2281.06319318737m²