Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119743 / 118081
↖ ↑ ↗
← S 80.789235°
E148.883972°		 ← 48.88 m → S 80.789235°
E148.886718°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.789674°
E148.883972°		 ← 48.88 m →
2 388 m²		 S 80.789674°
E148.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913570404052734 y=0.900890350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913570404052734 × 217)
    floor (0.913570404052734 × 131072)
    floor (119743.5)     		tx = 119743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900890350341797 × 217)
    floor (0.900890350341797 × 131072)
    floor (118081.5)     		ty = 118081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119743 / 118081 ti = "17/119743/118081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119743/118081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119743 ÷ 217
    119743 ÷ 131072     		x = 0.913566589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118081 ÷ 217
    118081 ÷ 131072     		y = 0.900886535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913566589355469 × 2 - 1) × π
    0.827133178710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59851552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900886535644531 × 2 - 1) × π
    -0.801773071289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.51884439053585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59851552} λ = 2.59851552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51884439053585))-π/2
    2×atan(0.0805526403774911)-π/2
    2×0.0803790875062382-π/2
    0.160758175012476-1.57079632675     		φ = -1.41003815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59851552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.883972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41003815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.789235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119743 KachelY 118081 2.59851552 -1.41003815 148.883972 -80.789235
    Oben rechts KachelX + 1 119744 KachelY 118081 2.59856345 -1.41003815 148.886718 -80.789235
    Unten links KachelX 119743 KachelY + 1 118082 2.59851552 -1.41004582 148.883972 -80.789674
    Unten rechts KachelX + 1 119744 KachelY + 1 118082 2.59856345 -1.41004582 148.886718 -80.789674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41003815--1.41004582) × R
    7.66999999979312e-06 × 6371000     		dl = 48.865569998682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41003815--1.41004582) × R
    7.66999999979312e-06 × 6371000     		dr = 48.865569998682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59851552-2.59856345) × cos(-1.41003815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160066653569477 × 6371000     		do = 48.8782782693121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59851552-2.59856345) × cos(-1.41004582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160059082460151 × 6371000     		du = 48.8759663399991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41003815)-sin(-1.41004582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160066653569477-0.160059082460151)×R²
    abs(2.59856345-2.59851552)×7.57110932544935e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.57110932544935e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.57110932544935e-06×40589641000000     		ar = 2388.40844138867m²