Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119742 / 117950
↖ ↑ ↗
← S 80.731464°
E148.881226°		 ← 49.19 m → S 80.731464°
E148.883972°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
S 80.731906°
E148.881226°		 ← 49.19 m →
2 419 m²		 S 80.731906°
E148.883972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913562774658203 y=0.899890899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913562774658203 × 217)
    floor (0.913562774658203 × 131072)
    floor (119742.5)     		tx = 119742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899890899658203 × 217)
    floor (0.899890899658203 × 131072)
    floor (117950.5)     		ty = 117950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119742 / 117950 ti = "17/119742/117950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119742/117950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119742 ÷ 217
    119742 ÷ 131072     		x = 0.913558959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117950 ÷ 217
    117950 ÷ 131072     		y = 0.899887084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913558959960938 × 2 - 1) × π
    0.827117919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59846758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899887084960938 × 2 - 1) × π
    -0.799774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51256465668562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59846758} λ = 2.59846758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51256465668562))-π/2
    2×atan(0.0810600811489109)-π/2
    2×0.0808832363426269-π/2
    0.161766472685254-1.57079632675     		φ = -1.40902985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59846758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40902985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.731464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119742 KachelY 117950 2.59846758 -1.40902985 148.881226 -80.731464
    Oben rechts KachelX + 1 119743 KachelY 117950 2.59851552 -1.40902985 148.883972 -80.731464
    Unten links KachelX 119742 KachelY + 1 117951 2.59846758 -1.40903757 148.881226 -80.731906
    Unten rechts KachelX + 1 119743 KachelY + 1 117951 2.59851552 -1.40903757 148.883972 -80.731906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40902985--1.40903757) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40902985--1.40903757) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59846758-2.59851552) × cos(-1.40902985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161061871223246 × 6371000     		do = 49.1924412041123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59846758-2.59851552) × cos(-1.40903757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161054252008363 × 6371000     		du = 49.1901140997685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40902985)-sin(-1.40903757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161061871223246-0.161054252008363)×R²
    abs(2.59851552-2.59846758)×7.61921488273698e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61921488273698e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61921488273698e-06×40589641000000     		ar = 2419.42970304435m²