Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119741 / 118585
↖ ↑ ↗
← S 81.008190°
E148.878479°		 ← 47.74 m → S 81.008190°
E148.881226°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
S 81.008619°
E148.878479°		 ← 47.73 m →
2 281 m²		 S 81.008619°
E148.881226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913555145263672 y=0.904735565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913555145263672 × 217)
    floor (0.913555145263672 × 131072)
    floor (119741.5)     		tx = 119741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904735565185547 × 217)
    floor (0.904735565185547 × 131072)
    floor (118585.5)     		ty = 118585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119741 / 118585 ti = "17/119741/118585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119741/118585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119741 ÷ 217
    119741 ÷ 131072     		x = 0.913551330566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118585 ÷ 217
    118585 ÷ 131072     		y = 0.904731750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913551330566406 × 2 - 1) × π
    0.827102661132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.59841964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904731750488281 × 2 - 1) × π
    -0.809463500976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.54300458794436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59841964} λ = 2.59841964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54300458794436))-π/2
    2×atan(0.0786297943855201)-π/2
    2×0.0784683461794919-π/2
    0.156936692358984-1.57079632675     		φ = -1.41385963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59841964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.878479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41385963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.008190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119741 KachelY 118585 2.59841964 -1.41385963 148.878479 -81.008190
    Oben rechts KachelX + 1 119742 KachelY 118585 2.59846758 -1.41385963 148.881226 -81.008190
    Unten links KachelX 119741 KachelY + 1 118586 2.59841964 -1.41386713 148.878479 -81.008619
    Unten rechts KachelX + 1 119742 KachelY + 1 118586 2.59846758 -1.41386713 148.881226 -81.008619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41385963--1.41386713) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dl = 47.7825000010204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41385963--1.41386713) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dr = 47.7825000010204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59841964-2.59846758) × cos(-1.41385963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156293287336016 × 6371000     		do = 47.7359929416041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59841964-2.59846758) × cos(-1.41386713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156285879501441 × 6371000     		du = 47.7337303982471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41385963)-sin(-1.41386713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156293287336016-0.156285879501441)×R²
    abs(2.59846758-2.59841964)×7.40783457536809e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40783457536809e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40783457536809e-06×40589641000000     		ar = 2280.89102780865m²