Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119740 / 118700
↖ ↑ ↗
← S 81.057422°
E148.875733°		 ← 47.47 m → S 81.057422°
E148.878479°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
S 81.057849°
E148.875733°		 ← 47.46 m →
2 253 m²		 S 81.057849°
E148.878479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913547515869141 y=0.905612945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913547515869141 × 217)
    floor (0.913547515869141 × 131072)
    floor (119740.5)     		tx = 119740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905612945556641 × 217)
    floor (0.905612945556641 × 131072)
    floor (118700.5)     		ty = 118700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119740 / 118700 ti = "17/119740/118700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119740/118700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119740 ÷ 217
    119740 ÷ 131072     		x = 0.913543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118700 ÷ 217
    118700 ÷ 131072     		y = 0.905609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913543701171875 × 2 - 1) × π
    0.82708740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59837171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.81121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54851733140067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59837171} λ = 2.59837171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54851733140067))-π/2
    2×atan(0.0781975211016528)-π/2
    2×0.0780387145787142-π/2
    0.156077429157428-1.57079632675     		φ = -1.41471890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59837171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.875733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41471890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.057422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119740 KachelY 118700 2.59837171 -1.41471890 148.875733 -81.057422
    Oben rechts KachelX + 1 119741 KachelY 118700 2.59841964 -1.41471890 148.878479 -81.057422
    Unten links KachelX 119740 KachelY + 1 118701 2.59837171 -1.41472635 148.875733 -81.057849
    Unten rechts KachelX + 1 119741 KachelY + 1 118701 2.59841964 -1.41472635 148.878479 -81.057849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41471890--1.41472635) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41471890--1.41472635) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59837171-2.59841964) × cos(-1.41471890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155444519576166 × 6371000     		do = 47.4668540501819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59837171-2.59841964) × cos(-1.41472635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155437160129403 × 6371000     		du = 47.4646067545786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41471890)-sin(-1.41472635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155444519576166-0.155437160129403)×R²
    abs(2.59841964-2.59837171)×7.35944676316658e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.35944676316658e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.35944676316658e-06×40589641000000     		ar = 2252.91105458747m²