Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119738 / 118689
↖ ↑ ↗
← S 81.052724°
E148.870239°		 ← 47.50 m → S 81.052724°
E148.872986°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
S 81.053151°
E148.870239°		 ← 47.50 m →
2 255 m²		 S 81.053151°
E148.872986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913532257080078 y=0.905529022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913532257080078 × 217)
    floor (0.913532257080078 × 131072)
    floor (119738.5)     		tx = 119738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905529022216797 × 217)
    floor (0.905529022216797 × 131072)
    floor (118689.5)     		ty = 118689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119738 / 118689 ti = "17/119738/118689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119738/118689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119738 ÷ 217
    119738 ÷ 131072     		x = 0.913528442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118689 ÷ 217
    118689 ÷ 131072     		y = 0.905525207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913528442382812 × 2 - 1) × π
    0.827056884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59827583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905525207519531 × 2 - 1) × π
    -0.811050415039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.54799002550484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59827583} λ = 2.59827583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54799002550484))-π/2
    2×atan(0.0782387659889487)-π/2
    2×0.0780797086610123-π/2
    0.156159417322025-1.57079632675     		φ = -1.41463691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59827583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41463691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.052724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119738 KachelY 118689 2.59827583 -1.41463691 148.870239 -81.052724
    Oben rechts KachelX + 1 119739 KachelY 118689 2.59832377 -1.41463691 148.872986 -81.052724
    Unten links KachelX 119738 KachelY + 1 118690 2.59827583 -1.41464436 148.870239 -81.053151
    Unten rechts KachelX + 1 119739 KachelY + 1 118690 2.59832377 -1.41464436 148.872986 -81.053151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41463691--1.41464436) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41463691--1.41464436) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59827583-2.59832377) × cos(-1.41463691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155525512434327 × 6371000     		do = 47.5014947241024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59827583-2.59832377) × cos(-1.41464436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155518153082536 × 6371000     		du = 47.4992469886356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41463691)-sin(-1.41464436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155525512434327-0.155518153082536)×R²
    abs(2.59832377-2.59827583)×7.35935179119185e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35935179119185e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35935179119185e-06×40589641000000     		ar = 2254.55522729156m²