Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119738 / 117973
↖ ↑ ↗
← S 80.741633°
E148.870239°		 ← 49.14 m → S 80.741633°
E148.872986°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
S 80.742075°
E148.870239°		 ← 49.14 m →
2 414 m²		 S 80.742075°
E148.872986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913532257080078 y=0.900066375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913532257080078 × 217)
    floor (0.913532257080078 × 131072)
    floor (119738.5)     		tx = 119738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900066375732422 × 217)
    floor (0.900066375732422 × 131072)
    floor (117973.5)     		ty = 117973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119738 / 117973 ti = "17/119738/117973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119738/117973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119738 ÷ 217
    119738 ÷ 131072     		x = 0.913528442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117973 ÷ 217
    117973 ÷ 131072     		y = 0.900062561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913528442382812 × 2 - 1) × π
    0.827056884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59827583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900062561035156 × 2 - 1) × π
    -0.800125122070312 × 3.1415926535     		Φ = -2.51366720537688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59827583} λ = 2.59827583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51366720537688))-π/2
    2×atan(0.0809707577132937)-π/2
    2×0.0807944953583564-π/2
    0.161588990716713-1.57079632675     		φ = -1.40920734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59827583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40920734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.741633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119738 KachelY 117973 2.59827583 -1.40920734 148.870239 -80.741633
    Oben rechts KachelX + 1 119739 KachelY 117973 2.59832377 -1.40920734 148.872986 -80.741633
    Unten links KachelX 119738 KachelY + 1 117974 2.59827583 -1.40921505 148.870239 -80.742075
    Unten rechts KachelX + 1 119739 KachelY + 1 117974 2.59832377 -1.40921505 148.872986 -80.742075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40920734--1.40921505) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40920734--1.40921505) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59827583-2.59832377) × cos(-1.40920734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160886695941408 × 6371000     		do = 49.1389381640274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59827583-2.59832377) × cos(-1.40921505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160879086375701 × 6371000     		du = 49.1366140067902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40920734)-sin(-1.40921505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160886695941408-0.160879086375701)×R²
    abs(2.59832377-2.59827583)×7.60956570694526e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60956570694526e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60956570694526e-06×40589641000000     		ar = 2413.66770777722m²