Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119735 / 118317
↖ ↑ ↗
← S 80.892412°
E148.861999°		 ← 48.35 m → S 80.892412°
E148.864746°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
S 80.892847°
E148.861999°		 ← 48.34 m →
2 338 m²		 S 80.892847°
E148.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913509368896484 y=0.902690887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913509368896484 × 217)
    floor (0.913509368896484 × 131072)
    floor (119735.5)     		tx = 119735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902690887451172 × 217)
    floor (0.902690887451172 × 131072)
    floor (118317.5)     		ty = 118317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119735 / 118317 ti = "17/119735/118317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119735/118317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119735 ÷ 217
    119735 ÷ 131072     		x = 0.913505554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118317 ÷ 217
    118317 ÷ 131072     		y = 0.902687072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913505554199219 × 2 - 1) × π
    0.827011108398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.59813202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902687072753906 × 2 - 1) × π
    -0.805374145507812 × 3.1415926535     		Φ = -2.53015749884618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59813202} λ = 2.59813202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53015749884618))-π/2
    2×atan(0.0796464750700693)-π/2
    2×0.0794786990961057-π/2
    0.158957398192211-1.57079632675     		φ = -1.41183893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59813202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.861999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41183893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.892412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119735 KachelY 118317 2.59813202 -1.41183893 148.861999 -80.892412
    Oben rechts KachelX + 1 119736 KachelY 118317 2.59817996 -1.41183893 148.864746 -80.892412
    Unten links KachelX 119735 KachelY + 1 118318 2.59813202 -1.41184652 148.861999 -80.892847
    Unten rechts KachelX + 1 119736 KachelY + 1 118318 2.59817996 -1.41184652 148.864746 -80.892847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41183893--1.41184652) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41183893--1.41184652) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59813202-2.59817996) × cos(-1.41183893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158288833879763 × 6371000     		do = 48.3454842214321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59813202-2.59817996) × cos(-1.41184652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158281339563454 × 6371000     		du = 48.3431952643275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41183893)-sin(-1.41184652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158288833879763-0.158281339563454)×R²
    abs(2.59817996-2.59813202)×7.49431630944764e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.49431630944764e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.49431630944764e-06×40589641000000     		ar = 2337.73357493885m²