Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119730 / 118998
↖ ↑ ↗
← S 81.183757°
E148.848267°		 ← 46.80 m → S 81.183757°
E148.851013°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.184178°
E148.848267°		 ← 46.80 m →
2 189 m²		 S 81.184178°
E148.851013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913471221923828 y=0.907886505126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913471221923828 × 217)
    floor (0.913471221923828 × 131072)
    floor (119730.5)     		tx = 119730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907886505126953 × 217)
    floor (0.907886505126953 × 131072)
    floor (118998.5)     		ty = 118998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119730 / 118998 ti = "17/119730/118998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119730/118998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119730 ÷ 217
    119730 ÷ 131072     		x = 0.913467407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118998 ÷ 217
    118998 ÷ 131072     		y = 0.907882690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913467407226562 × 2 - 1) × π
    0.826934814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59789234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907882690429688 × 2 - 1) × π
    -0.815765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56280252748744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59789234} λ = 2.59789234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56280252748744))-π/2
    2×atan(0.0770883950818099)-π/2
    2×0.0769362348896459-π/2
    0.153872469779292-1.57079632675     		φ = -1.41692386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59789234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.848267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41692386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.183757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119730 KachelY 118998 2.59789234 -1.41692386 148.848267 -81.183757
    Oben rechts KachelX + 1 119731 KachelY 118998 2.59794027 -1.41692386 148.851013 -81.183757
    Unten links KachelX 119730 KachelY + 1 118999 2.59789234 -1.41693120 148.848267 -81.184178
    Unten rechts KachelX + 1 119731 KachelY + 1 118999 2.59794027 -1.41693120 148.851013 -81.184178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41692386--1.41693120) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41692386--1.41693120) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59789234-2.59794027) × cos(-1.41692386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153265985585115 × 6371000     		do = 46.8016124882501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59789234-2.59794027) × cos(-1.41693120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153258732303296 × 6371000     		du = 46.7993976113898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41692386)-sin(-1.41693120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153265985585115-0.153258732303296)×R²
    abs(2.59794027-2.59789234)×7.25328181855334e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.25328181855334e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.25328181855334e-06×40589641000000     		ar = 2188.53856958071m²