Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119730 / 118673
↖ ↑ ↗
← S 81.045887°
E148.848267°		 ← 47.53 m → S 81.045887°
E148.851013°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
S 81.046315°
E148.848267°		 ← 47.53 m →
2 259 m²		 S 81.046315°
E148.851013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913471221923828 y=0.905406951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913471221923828 × 217)
    floor (0.913471221923828 × 131072)
    floor (119730.5)     		tx = 119730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905406951904297 × 217)
    floor (0.905406951904297 × 131072)
    floor (118673.5)     		ty = 118673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119730 / 118673 ti = "17/119730/118673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119730/118673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119730 ÷ 217
    119730 ÷ 131072     		x = 0.913467407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118673 ÷ 217
    118673 ÷ 131072     		y = 0.905403137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913467407226562 × 2 - 1) × π
    0.826934814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59789234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905403137207031 × 2 - 1) × π
    -0.810806274414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.54722303511092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59789234} λ = 2.59789234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54722303511092))-π/2
    2×atan(0.0782987973897054)-π/2
    2×0.0781393745483949-π/2
    0.15627874909679-1.57079632675     		φ = -1.41451758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59789234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.848267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41451758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.045887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119730 KachelY 118673 2.59789234 -1.41451758 148.848267 -81.045887
    Oben rechts KachelX + 1 119731 KachelY 118673 2.59794027 -1.41451758 148.851013 -81.045887
    Unten links KachelX 119730 KachelY + 1 118674 2.59789234 -1.41452504 148.848267 -81.046315
    Unten rechts KachelX + 1 119731 KachelY + 1 118674 2.59794027 -1.41452504 148.851013 -81.046315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41451758--1.41452504) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41451758--1.41452504) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59789234-2.59794027) × cos(-1.41451758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15564338930448 × 6371000     		do = 47.5275813141255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59789234-2.59794027) × cos(-1.41452504) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155636020212857 × 6371000     		du = 47.5253310733481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41451758)-sin(-1.41452504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15564338930448-0.155636020212857)×R²
    abs(2.59794027-2.59789234)×7.36909162321608e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.36909162321608e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.36909162321608e-06×40589641000000     		ar = 2258.82125097661m²