Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119729 / 118064
↖ ↑ ↗
← S 80.781758°
E148.845520°		 ← 48.93 m → S 80.781758°
E148.848267°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
S 80.782198°
E148.845520°		 ← 48.93 m →
2 394 m²		 S 80.782198°
E148.848267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913463592529297 y=0.900760650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913463592529297 × 217)
    floor (0.913463592529297 × 131072)
    floor (119729.5)     		tx = 119729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900760650634766 × 217)
    floor (0.900760650634766 × 131072)
    floor (118064.5)     		ty = 118064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119729 / 118064 ti = "17/119729/118064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119729/118064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119729 ÷ 217
    119729 ÷ 131072     		x = 0.913459777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118064 ÷ 217
    118064 ÷ 131072     		y = 0.9007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913459777832031 × 2 - 1) × π
    0.826919555664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.59784440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9007568359375 × 2 - 1) × π
    -0.801513671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51802946324231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59784440} λ = 2.59784440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51802946324231))-π/2
    2×atan(0.0806183116777345)-π/2
    2×0.0804443350874304-π/2
    0.160888670174861-1.57079632675     		φ = -1.40990766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59784440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.845520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40990766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.781758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119729 KachelY 118064 2.59784440 -1.40990766 148.845520 -80.781758
    Oben rechts KachelX + 1 119730 KachelY 118064 2.59789234 -1.40990766 148.848267 -80.781758
    Unten links KachelX 119729 KachelY + 1 118065 2.59784440 -1.40991534 148.845520 -80.782198
    Unten rechts KachelX + 1 119730 KachelY + 1 118065 2.59789234 -1.40991534 148.848267 -80.782198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40990766--1.40991534) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40990766--1.40991534) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59784440-2.59789234) × cos(-1.40990766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160195459695451 × 6371000     		do = 48.9278168220911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59784440-2.59789234) × cos(-1.40991534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160187878875524 × 6371000     		du = 48.9255014445553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40990766)-sin(-1.40991534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160195459695451-0.160187878875524)×R²
    abs(2.59789234-2.59784440)×7.58081992635606e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58081992635606e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58081992635606e-06×40589641000000     		ar = 2393.94620426668m²