Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119728 / 118065
↖ ↑ ↗
← S 80.782198°
E148.842773°		 ← 48.93 m → S 80.782198°
E148.845520°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.782638°
E148.842773°		 ← 48.92 m →
2 391 m²		 S 80.782638°
E148.845520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913455963134766 y=0.900768280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913455963134766 × 217)
    floor (0.913455963134766 × 131072)
    floor (119728.5)     		tx = 119728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900768280029297 × 217)
    floor (0.900768280029297 × 131072)
    floor (118065.5)     		ty = 118065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119728 / 118065 ti = "17/119728/118065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119728/118065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119728 ÷ 217
    119728 ÷ 131072     		x = 0.9134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118065 ÷ 217
    118065 ÷ 131072     		y = 0.900764465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9134521484375 × 2 - 1) × π
    0.826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59779646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900764465332031 × 2 - 1) × π
    -0.801528930664062 × 3.1415926535     		Φ = -2.51807740014193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59779646} λ = 2.59779646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51807740014193))-π/2
    2×atan(0.0806144471784469)-π/2
    2×0.0804404955413551-π/2
    0.16088099108271-1.57079632675     		φ = -1.40991534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59779646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40991534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.782198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119728 KachelY 118065 2.59779646 -1.40991534 148.842773 -80.782198
    Oben rechts KachelX + 1 119729 KachelY 118065 2.59784440 -1.40991534 148.845520 -80.782198
    Unten links KachelX 119728 KachelY + 1 118066 2.59779646 -1.40992301 148.842773 -80.782638
    Unten rechts KachelX + 1 119729 KachelY + 1 118066 2.59784440 -1.40992301 148.845520 -80.782638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40991534--1.40992301) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40991534--1.40992301) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59779646-2.59784440) × cos(-1.40991534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160187878875524 × 6371000     		do = 48.9255014445553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59779646-2.59784440) × cos(-1.40992301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160180307917027 × 6371000     		du = 48.9231890789538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40991534)-sin(-1.40992301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160187878875524-0.160180307917027)×R²
    abs(2.59784440-2.59779646)×7.57095849693301e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57095849693301e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57095849693301e-06×40589641000000     		ar = 2390.71601811739m²