Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119727 / 118063
↖ ↑ ↗
← S 80.781318°
E148.840027°		 ← 48.92 m → S 80.781318°
E148.842773°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
S 80.781758°
E148.840027°		 ← 48.92 m →
2 394 m²		 S 80.781758°
E148.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913448333740234 y=0.900753021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913448333740234 × 217)
    floor (0.913448333740234 × 131072)
    floor (119727.5)     		tx = 119727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900753021240234 × 217)
    floor (0.900753021240234 × 131072)
    floor (118063.5)     		ty = 118063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119727 / 118063 ti = "17/119727/118063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119727/118063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119727 ÷ 217
    119727 ÷ 131072     		x = 0.913444519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118063 ÷ 217
    118063 ÷ 131072     		y = 0.900749206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913444519042969 × 2 - 1) × π
    0.826889038085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59774853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900749206542969 × 2 - 1) × π
    -0.801498413085938 × 3.1415926535     		Φ = -2.51798152634269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59774853} λ = 2.59774853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51798152634269))-π/2
    2×atan(0.0806221763622787)-π/2
    2×0.0804481748151889-π/2
    0.160896349630378-1.57079632675     		φ = -1.40989998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59774853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.840027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40989998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.781318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119727 KachelY 118063 2.59774853 -1.40989998 148.840027 -80.781318
    Oben rechts KachelX + 1 119728 KachelY 118063 2.59779646 -1.40989998 148.842773 -80.781318
    Unten links KachelX 119727 KachelY + 1 118064 2.59774853 -1.40990766 148.840027 -80.781758
    Unten rechts KachelX + 1 119728 KachelY + 1 118064 2.59779646 -1.40990766 148.842773 -80.781758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40989998--1.40990766) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40989998--1.40990766) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59774853-2.59779646) × cos(-1.40989998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160203040505928 × 6371000     		do = 48.9199256610924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59774853-2.59779646) × cos(-1.40990766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160195459695451 × 6371000     		du = 48.9176107694159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40989998)-sin(-1.40990766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160203040505928-0.160195459695451)×R²
    abs(2.59779646-2.59774853)×7.58081047760872e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.58081047760872e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.58081047760872e-06×40589641000000     		ar = 2393.56010709112m²