Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119725 / 119140
↖ ↑ ↗
← S 81.243332°
E148.834533°		 ← 46.50 m → S 81.243332°
E148.837280°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.243750°
E148.834533°		 ← 46.50 m →
2 162 m²		 S 81.243750°
E148.837280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913433074951172 y=0.908969879150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913433074951172 × 217)
    floor (0.913433074951172 × 131072)
    floor (119725.5)     		tx = 119725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908969879150391 × 217)
    floor (0.908969879150391 × 131072)
    floor (119140.5)     		ty = 119140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119725 / 119140 ti = "17/119725/119140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119725/119140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119725 ÷ 217
    119725 ÷ 131072     		x = 0.913429260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119140 ÷ 217
    119140 ÷ 131072     		y = 0.908966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913429260253906 × 2 - 1) × π
    0.826858520507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.59765265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908966064453125 × 2 - 1) × π
    -0.81793212890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56960956723349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59765265} λ = 2.59765265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56960956723349))-π/2
    2×atan(0.0765654332428599)-π/2
    2×0.076416341666892-π/2
    0.152832683333784-1.57079632675     		φ = -1.41796364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59765265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.834533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41796364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.243332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119725 KachelY 119140 2.59765265 -1.41796364 148.834533 -81.243332
    Oben rechts KachelX + 1 119726 KachelY 119140 2.59770059 -1.41796364 148.837280 -81.243332
    Unten links KachelX 119725 KachelY + 1 119141 2.59765265 -1.41797094 148.834533 -81.243750
    Unten rechts KachelX + 1 119726 KachelY + 1 119141 2.59770059 -1.41797094 148.837280 -81.243750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41796364--1.41797094) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41796364--1.41797094) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59765265-2.59770059) × cos(-1.41796364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152238407949544 × 6371000     		do = 46.4975284043808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59765265-2.59770059) × cos(-1.41797094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152231193035747 × 6371000     		du = 46.4953247839953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41796364)-sin(-1.41797094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152238407949544-0.152231193035747)×R²
    abs(2.59770059-2.59765265)×7.2149137969324e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.2149137969324e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.2149137969324e-06×40589641000000     		ar = 2162.46975691347m²