Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119721 / 118312
↖ ↑ ↗
← S 80.890238°
E148.823548°		 ← 48.35 m → S 80.890238°
E148.826294°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
S 80.890673°
E148.823548°		 ← 48.34 m →
2 338 m²		 S 80.890673°
E148.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913402557373047 y=0.902652740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913402557373047 × 217)
    floor (0.913402557373047 × 131072)
    floor (119721.5)     		tx = 119721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902652740478516 × 217)
    floor (0.902652740478516 × 131072)
    floor (118312.5)     		ty = 118312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119721 / 118312 ti = "17/119721/118312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119721/118312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119721 ÷ 217
    119721 ÷ 131072     		x = 0.913398742675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118312 ÷ 217
    118312 ÷ 131072     		y = 0.90264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913398742675781 × 2 - 1) × π
    0.826797485351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59746091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.8052978515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52991781434808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59746091} λ = 2.59746091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52991781434808))-π/2
    2×atan(0.0796655673834463)-π/2
    2×0.0794976710310049-π/2
    0.15899534206201-1.57079632675     		φ = -1.41180098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59746091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.823548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41180098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.890238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119721 KachelY 118312 2.59746091 -1.41180098 148.823548 -80.890238
    Oben rechts KachelX + 1 119722 KachelY 118312 2.59750884 -1.41180098 148.826294 -80.890238
    Unten links KachelX 119721 KachelY + 1 118313 2.59746091 -1.41180857 148.823548 -80.890673
    Unten rechts KachelX + 1 119722 KachelY + 1 118313 2.59750884 -1.41180857 148.826294 -80.890673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41180098--1.41180857) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41180098--1.41180857) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59746091-2.59750884) × cos(-1.41180098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158326305324521 × 6371000     		do = 48.3468419963251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59746091-2.59750884) × cos(-1.41180857) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158318811053809 × 6371000     		du = 48.3445535306073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41180098)-sin(-1.41180857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158326305324521-0.158318811053809)×R²
    abs(2.59750884-2.59746091)×7.49427071150555e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.49427071150555e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.49427071150555e-06×40589641000000     		ar = 2337.79924312974m²