Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119719 / 118765
↖ ↑ ↗
← S 81.085130°
E148.818054°		 ← 47.33 m → S 81.085130°
E148.820801°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
S 81.085556°
E148.818054°		 ← 47.33 m →
2 240 m²		 S 81.085556°
E148.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913387298583984 y=0.906108856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913387298583984 × 217)
    floor (0.913387298583984 × 131072)
    floor (119719.5)     		tx = 119719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906108856201172 × 217)
    floor (0.906108856201172 × 131072)
    floor (118765.5)     		ty = 118765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119719 / 118765 ti = "17/119719/118765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119719/118765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119719 ÷ 217
    119719 ÷ 131072     		x = 0.913383483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118765 ÷ 217
    118765 ÷ 131072     		y = 0.906105041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913383483886719 × 2 - 1) × π
    0.826766967773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.59736503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906105041503906 × 2 - 1) × π
    -0.812210083007812 × 3.1415926535     		Φ = -2.55163322987597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59736503} λ = 2.59736503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55163322987597))-π/2
    2×atan(0.0779542447738763)-π/2
    2×0.0777969122413072-π/2
    0.155593824482614-1.57079632675     		φ = -1.41520250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59736503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.818054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41520250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.085130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119719 KachelY 118765 2.59736503 -1.41520250 148.818054 -81.085130
    Oben rechts KachelX + 1 119720 KachelY 118765 2.59741297 -1.41520250 148.820801 -81.085130
    Unten links KachelX 119719 KachelY + 1 118766 2.59736503 -1.41520993 148.818054 -81.085556
    Unten rechts KachelX + 1 119720 KachelY + 1 118766 2.59741297 -1.41520993 148.820801 -81.085556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41520250--1.41520993) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dl = 47.3365300009014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41520250--1.41520993) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dr = 47.3365300009014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59736503-2.59741297) × cos(-1.41520250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154966779757756 × 6371000     		do = 47.3308433828985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59736503-2.59741297) × cos(-1.41520993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154959439510244 × 6371000     		du = 47.3286014823706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41520250)-sin(-1.41520993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154966779757756-0.154959439510244)×R²
    abs(2.59741297-2.59736503)×7.34024751136708e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34024751136708e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34024751136708e-06×40589641000000     		ar = 2240.42482589639m²