Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119718 / 118772
↖ ↑ ↗
← S 81.088109°
E148.815308°		 ← 47.31 m → S 81.088109°
E148.818054°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
S 81.088535°
E148.815308°		 ← 47.30 m →
2 239 m²		 S 81.088535°
E148.818054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913379669189453 y=0.906162261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913379669189453 × 217)
    floor (0.913379669189453 × 131072)
    floor (119718.5)     		tx = 119718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906162261962891 × 217)
    floor (0.906162261962891 × 131072)
    floor (118772.5)     		ty = 118772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119718 / 118772 ti = "17/119718/118772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119718/118772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119718 ÷ 217
    119718 ÷ 131072     		x = 0.913375854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118772 ÷ 217
    118772 ÷ 131072     		y = 0.906158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913375854492188 × 2 - 1) × π
    0.826751708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59731710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.81231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55196878817331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59731710} λ = 2.59731710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55196878817331))-π/2
    2×atan(0.0779280909685381)-π/2
    2×0.0777709163564387-π/2
    0.155541832712877-1.57079632675     		φ = -1.41525449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59731710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.815308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41525449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.088109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119718 KachelY 118772 2.59731710 -1.41525449 148.815308 -81.088109
    Oben rechts KachelX + 1 119719 KachelY 118772 2.59736503 -1.41525449 148.818054 -81.088109
    Unten links KachelX 119718 KachelY + 1 118773 2.59731710 -1.41526192 148.815308 -81.088535
    Unten rechts KachelX + 1 119719 KachelY + 1 118773 2.59736503 -1.41526192 148.818054 -81.088535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41525449--1.41526192) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dl = 47.3365300009014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41525449--1.41526192) × R
    7.43000000014149e-06 × 6371000     		dr = 47.3365300009014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59731710-2.59736503) × cos(-1.41525449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154915417604101 × 6371000     		do = 47.305286397915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59731710-2.59736503) × cos(-1.41526192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15490807729674 × 6371000     		du = 47.3030449467583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41525449)-sin(-1.41526192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154915417604101-0.15490807729674)×R²
    abs(2.59736503-2.59731710)×7.34030736146418e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34030736146418e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34030736146418e-06×40589641000000     		ar = 2239.21505746006m²