Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119712 / 118304
↖ ↑ ↗
← S 80.886759°
E148.798828°		 ← 48.38 m → S 80.886759°
E148.801575°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
S 80.887194°
E148.798828°		 ← 48.37 m →
2 339 m²		 S 80.887194°
E148.801575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913333892822266 y=0.902591705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913333892822266 × 217)
    floor (0.913333892822266 × 131072)
    floor (119712.5)     		tx = 119712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902591705322266 × 217)
    floor (0.902591705322266 × 131072)
    floor (118304.5)     		ty = 118304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119712 / 118304 ti = "17/119712/118304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119712/118304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119712 ÷ 217
    119712 ÷ 131072     		x = 0.913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118304 ÷ 217
    118304 ÷ 131072     		y = 0.902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913330078125 × 2 - 1) × π
    0.82666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59702947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.80517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52953431915112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59702947} λ = 2.59702947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52953431915112))-π/2
    2×atan(0.0796961246048003)-π/2
    2×0.0795280354674196-π/2
    0.159056070934839-1.57079632675     		φ = -1.41174026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59702947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41174026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.886759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119712 KachelY 118304 2.59702947 -1.41174026 148.798828 -80.886759
    Oben rechts KachelX + 1 119713 KachelY 118304 2.59707741 -1.41174026 148.801575 -80.886759
    Unten links KachelX 119712 KachelY + 1 118305 2.59702947 -1.41174785 148.798828 -80.887194
    Unten rechts KachelX + 1 119713 KachelY + 1 118305 2.59707741 -1.41174785 148.801575 -80.887194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41174026--1.41174785) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41174026--1.41174785) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59702947-2.59707741) × cos(-1.41174026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158386259161825 × 6371000     		do = 48.3752404103004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59702947-2.59707741) × cos(-1.41174785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158378764964092 × 6371000     		du = 48.3729514894123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41174026)-sin(-1.41174785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158386259161825-0.158378764964092)×R²
    abs(2.59707741-2.59702947)×7.49419773241056e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.49419773241056e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.49419773241056e-06×40589641000000     		ar = 2339.17246267702m²