Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119711 / 118303
↖ ↑ ↗
← S 80.886323°
E148.796082°		 ← 48.37 m → S 80.886323°
E148.798828°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.886759°
E148.796082°		 ← 48.37 m →
2 342 m²		 S 80.886759°
E148.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913326263427734 y=0.902584075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913326263427734 × 217)
    floor (0.913326263427734 × 131072)
    floor (119711.5)     		tx = 119711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902584075927734 × 217)
    floor (0.902584075927734 × 131072)
    floor (118303.5)     		ty = 118303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119711 / 118303 ti = "17/119711/118303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119711/118303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119711 ÷ 217
    119711 ÷ 131072     		x = 0.913322448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118303 ÷ 217
    118303 ÷ 131072     		y = 0.902580261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913322448730469 × 2 - 1) × π
    0.826644897460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59698154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902580261230469 × 2 - 1) × π
    -0.805160522460938 × 3.1415926535     		Φ = -2.5294863822515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59698154} λ = 2.59698154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5294863822515))-π/2
    2×atan(0.0796999450814957)-π/2
    2×0.0795318318304645-π/2
    0.159063663660929-1.57079632675     		φ = -1.41173266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59698154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.796082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41173266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.886323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119711 KachelY 118303 2.59698154 -1.41173266 148.796082 -80.886323
    Oben rechts KachelX + 1 119712 KachelY 118303 2.59702947 -1.41173266 148.798828 -80.886323
    Unten links KachelX 119711 KachelY + 1 118304 2.59698154 -1.41174026 148.796082 -80.886759
    Unten rechts KachelX + 1 119712 KachelY + 1 118304 2.59702947 -1.41174026 148.798828 -80.886759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41173266--1.41174026) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41173266--1.41174026) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59698154-2.59702947) × cos(-1.41173266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158393763224193 × 6371000     		do = 48.3674410775086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59698154-2.59702947) × cos(-1.41174026) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158386259161825 × 6371000     		du = 48.3651496217906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41173266)-sin(-1.41174026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158393763224193-0.158386259161825)×R²
    abs(2.59702947-2.59698154)×7.50406236829648e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.50406236829648e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.50406236829648e-06×40589641000000     		ar = 2341.87667411787m²