Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119710 / 118938
↖ ↑ ↗
← S 81.158463°
E148.793335°		 ← 46.94 m → S 81.158463°
E148.796082°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
S 81.158886°
E148.793335°		 ← 46.94 m →
2 204 m²		 S 81.158886°
E148.796082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913318634033203 y=0.907428741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913318634033203 × 217)
    floor (0.913318634033203 × 131072)
    floor (119710.5)     		tx = 119710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907428741455078 × 217)
    floor (0.907428741455078 × 131072)
    floor (118938.5)     		ty = 118938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119710 / 118938 ti = "17/119710/118938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119710/118938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119710 ÷ 217
    119710 ÷ 131072     		x = 0.913314819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118938 ÷ 217
    118938 ÷ 131072     		y = 0.907424926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913314819335938 × 2 - 1) × π
    0.826629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59693360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907424926757812 × 2 - 1) × π
    -0.814849853515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55992631351024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59693360} λ = 2.59693360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55992631351024))-π/2
    2×atan(0.0773104369681408)-π/2
    2×0.0771569613008985-π/2
    0.154313922601797-1.57079632675     		φ = -1.41648240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59693360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.793335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41648240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.158463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119710 KachelY 118938 2.59693360 -1.41648240 148.793335 -81.158463
    Oben rechts KachelX + 1 119711 KachelY 118938 2.59698154 -1.41648240 148.796082 -81.158463
    Unten links KachelX 119710 KachelY + 1 118939 2.59693360 -1.41648977 148.793335 -81.158886
    Unten rechts KachelX + 1 119711 KachelY + 1 118939 2.59698154 -1.41648977 148.796082 -81.158886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41648240--1.41648977) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dl = 46.9542700003953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41648240--1.41648977) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dr = 46.9542700003953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59693360-2.59698154) × cos(-1.41648240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153702214773642 × 6371000     		do = 46.9446126868479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59693360-2.59698154) × cos(-1.41648977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153694932345599 × 6371000     		du = 46.9423884458737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41648240)-sin(-1.41648977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153702214773642-0.153694932345599)×R²
    abs(2.59698154-2.59693360)×7.28242804359791e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.28242804359791e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.28242804359791e-06×40589641000000     		ar = 2204.19780031245m²