Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119706 / 118107
↖ ↑ ↗
← S 80.800659°
E148.782348°		 ← 48.83 m → S 80.800659°
E148.785095°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
S 80.801097°
E148.782348°		 ← 48.83 m →
2 383 m²		 S 80.801097°
E148.785095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913288116455078 y=0.901088714599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913288116455078 × 217)
    floor (0.913288116455078 × 131072)
    floor (119706.5)     		tx = 119706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901088714599609 × 217)
    floor (0.901088714599609 × 131072)
    floor (118107.5)     		ty = 118107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119706 / 118107 ti = "17/119706/118107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119706/118107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119706 ÷ 217
    119706 ÷ 131072     		x = 0.913284301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118107 ÷ 217
    118107 ÷ 131072     		y = 0.901084899902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913284301757812 × 2 - 1) × π
    0.826568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59674185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901084899902344 × 2 - 1) × π
    -0.802169799804688 × 3.1415926535     		Φ = -2.52009074992597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59674185} λ = 2.59674185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52009074992597))-π/2
    2×atan(0.0804523053774807)-π/2
    2×0.0802793985553236-π/2
    0.160558797110647-1.57079632675     		φ = -1.41023753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59674185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.782348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41023753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.800659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119706 KachelY 118107 2.59674185 -1.41023753 148.782348 -80.800659
    Oben rechts KachelX + 1 119707 KachelY 118107 2.59678979 -1.41023753 148.785095 -80.800659
    Unten links KachelX 119706 KachelY + 1 118108 2.59674185 -1.41024519 148.782348 -80.801097
    Unten rechts KachelX + 1 119707 KachelY + 1 118108 2.59678979 -1.41024519 148.785095 -80.801097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41023753--1.41024519) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41023753--1.41024519) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59674185-2.59678979) × cos(-1.41023753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159869841153459 × 6371000     		do = 48.8283645379458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59674185-2.59678979) × cos(-1.41024519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159862279670902 × 6371000     		du = 48.8260550665403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41023753)-sin(-1.41024519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159869841153459-0.159862279670902)×R²
    abs(2.59678979-2.59674185)×7.56148255703915e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56148255703915e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56148255703915e-06×40589641000000     		ar = 2382.85865692625m²