Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119704 / 118294
↖ ↑ ↗
← S 80.882407°
E148.776856°		 ← 48.40 m → S 80.882407°
E148.779602°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.882843°
E148.776856°		 ← 48.40 m →
2 343 m²		 S 80.882843°
E148.779602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913272857666016 y=0.902515411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913272857666016 × 217)
    floor (0.913272857666016 × 131072)
    floor (119704.5)     		tx = 119704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902515411376953 × 217)
    floor (0.902515411376953 × 131072)
    floor (118294.5)     		ty = 118294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119704 / 118294 ti = "17/119704/118294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119704/118294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119704 ÷ 217
    119704 ÷ 131072     		x = 0.91326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118294 ÷ 217
    118294 ÷ 131072     		y = 0.902511596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91326904296875 × 2 - 1) × π
    0.8265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59664598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902511596679688 × 2 - 1) × π
    -0.805023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52905495015492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59664598} λ = 2.59664598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52905495015492))-π/2
    2×atan(0.0797343376143874)-π/2
    2×0.0795660071850365-π/2
    0.159132014370073-1.57079632675     		φ = -1.41166431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59664598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41166431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.882407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119704 KachelY 118294 2.59664598 -1.41166431 148.776856 -80.882407
    Oben rechts KachelX + 1 119705 KachelY 118294 2.59669392 -1.41166431 148.779602 -80.882407
    Unten links KachelX 119704 KachelY + 1 118295 2.59664598 -1.41167191 148.776856 -80.882843
    Unten rechts KachelX + 1 119705 KachelY + 1 118295 2.59669392 -1.41167191 148.779602 -80.882843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41166431--1.41167191) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41166431--1.41167191) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59664598-2.59669392) × cos(-1.41166431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158461250005499 × 6371000     		do = 48.3981445442228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59664598-2.59669392) × cos(-1.41167191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158453746025426 × 6371000     		du = 48.395852635556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41166431)-sin(-1.41167191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158461250005499-0.158453746025426)×R²
    abs(2.59669392-2.59664598)×7.50398007348663e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.50398007348663e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.50398007348663e-06×40589641000000     		ar = 2343.36331291204m²