Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11970 / 13715
↖ ↑ ↗
← N 28.120439°
W 48.493652°		 ← 1 077.44 m → N 28.120439°
W 48.482666°		 →
↑
1 077.46 m
↓
↑
1 077.46 m
↓
N 28.110749°
W 48.493652°		 ← 1 077.53 m →
1 160 950 m²		 N 28.110749°
W 48.482666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365310668945312 y=0.418563842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365310668945312 × 215)
    floor (0.365310668945312 × 32768)
    floor (11970.5)     		tx = 11970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418563842773438 × 215)
    floor (0.418563842773438 × 32768)
    floor (13715.5)     		ty = 13715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11970 / 13715 ti = "15/11970/13715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11970/13715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11970 ÷ 215
    11970 ÷ 32768     		x = 0.36529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13715 ÷ 215
    13715 ÷ 32768     		y = 0.418548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.2694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84637390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418548583984375 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.511774340343719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84637390} λ = -0.84637390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511774340343719))-π/2
    2×atan(1.66824861125275)-π/2
    2×1.03079528448855-π/2
    2.0615905689771-1.57079632675     		φ = 0.49079424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84637390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.493652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49079424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.120439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11970 KachelY 13715 -0.84637390 0.49079424 -48.493652 28.120439
    Oben rechts KachelX + 1 11971 KachelY 13715 -0.84618215 0.49079424 -48.482666 28.120439
    Unten links KachelX 11970 KachelY + 1 13716 -0.84637390 0.49062512 -48.493652 28.110749
    Unten rechts KachelX + 1 11971 KachelY + 1 13716 -0.84618215 0.49062512 -48.482666 28.110749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49079424-0.49062512) × R
    0.000169119999999967 × 6371000     		dl = 1077.46351999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49079424-0.49062512) × R
    0.000169119999999967 × 6371000     		dr = 1077.46351999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84637390--0.84618215) × cos(0.49079424) × R
    0.000191750000000046 × 0.881958790448652 × 6371000     		do = 1077.43547529486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84637390--0.84618215) × cos(0.49062512) × R
    0.000191750000000046 × 0.882038488577257 × 6371000     		du = 1077.53283765691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49079424)-sin(0.49062512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881958790448652-0.882038488577257)×R²
    abs(-0.84618215--0.84637390)×7.96981286045328e-05×R²
    0.000191750000000046×7.96981286045328e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.96981286045328e-05×40589641000000     		ar = 1160949.87474736m²