Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119698 / 118561
↖ ↑ ↗
← S 80.997882°
E148.760376°		 ← 47.78 m → S 80.997882°
E148.763122°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
S 80.998311°
E148.760376°		 ← 47.78 m →
2 283 m²		 S 80.998311°
E148.763122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913227081298828 y=0.904552459716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913227081298828 × 217)
    floor (0.913227081298828 × 131072)
    floor (119698.5)     		tx = 119698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904552459716797 × 217)
    floor (0.904552459716797 × 131072)
    floor (118561.5)     		ty = 118561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119698 / 118561 ti = "17/119698/118561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119698/118561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119698 ÷ 217
    119698 ÷ 131072     		x = 0.913223266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118561 ÷ 217
    118561 ÷ 131072     		y = 0.904548645019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913223266601562 × 2 - 1) × π
    0.826446533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59635836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904548645019531 × 2 - 1) × π
    -0.809097290039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.54185410235348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59635836} λ = 2.59635836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54185410235348))-π/2
    2×atan(0.0787203088888066)-π/2
    2×0.0785583038658922-π/2
    0.157116607731784-1.57079632675     		φ = -1.41367972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59635836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.760376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41367972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.997882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119698 KachelY 118561 2.59635836 -1.41367972 148.760376 -80.997882
    Oben rechts KachelX + 1 119699 KachelY 118561 2.59640629 -1.41367972 148.763122 -80.997882
    Unten links KachelX 119698 KachelY + 1 118562 2.59635836 -1.41368722 148.760376 -80.998311
    Unten rechts KachelX + 1 119699 KachelY + 1 118562 2.59640629 -1.41368722 148.763122 -80.998311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41367972--1.41368722) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41367972--1.41368722) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59635836-2.59640629) × cos(-1.41367972) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156470983835984 × 6371000     		do = 47.7802972602826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59635836-2.59640629) × cos(-1.41368722) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156463576212414 × 6371000     		du = 47.7780352533118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41367972)-sin(-1.41368722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156470983835984-0.156463576212414)×R²
    abs(2.59640629-2.59635836)×7.40762356982172e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.40762356982172e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.40762356982172e-06×40589641000000     		ar = 2283.0080116244m²