Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119695 / 118559
↖ ↑ ↗
← S 80.997022°
E148.752136°		 ← 47.78 m → S 80.997022°
E148.754883°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
S 80.997452°
E148.752136°		 ← 47.78 m →
2 283 m²		 S 80.997452°
E148.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913204193115234 y=0.904537200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913204193115234 × 217)
    floor (0.913204193115234 × 131072)
    floor (119695.5)     		tx = 119695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904537200927734 × 217)
    floor (0.904537200927734 × 131072)
    floor (118559.5)     		ty = 118559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119695 / 118559 ti = "17/119695/118559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119695/118559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119695 ÷ 217
    119695 ÷ 131072     		x = 0.913200378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118559 ÷ 217
    118559 ÷ 131072     		y = 0.904533386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913200378417969 × 2 - 1) × π
    0.826400756835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59621455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904533386230469 × 2 - 1) × π
    -0.809066772460938 × 3.1415926535     		Φ = -2.54175822855424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59621455} λ = 2.59621455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54175822855424))-π/2
    2×atan(0.0787278564656988)-π/2
    2×0.0785658049549261-π/2
    0.157131609909852-1.57079632675     		φ = -1.41366472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59621455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.752136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41366472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.997022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119695 KachelY 118559 2.59621455 -1.41366472 148.752136 -80.997022
    Oben rechts KachelX + 1 119696 KachelY 118559 2.59626248 -1.41366472 148.754883 -80.997022
    Unten links KachelX 119695 KachelY + 1 118560 2.59621455 -1.41367222 148.752136 -80.997452
    Unten rechts KachelX + 1 119696 KachelY + 1 118560 2.59626248 -1.41367222 148.754883 -80.997452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41366472--1.41367222) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41366472--1.41367222) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59621455-2.59626248) × cos(-1.41366472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156485799056719 × 6371000     		do = 47.784821266161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59621455-2.59626248) × cos(-1.41367222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156478391450753 × 6371000     		du = 47.7825592645657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41366472)-sin(-1.41367222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156485799056719-0.156478391450753)×R²
    abs(2.59626248-2.59621455)×7.40760596643075e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.40760596643075e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.40760596643075e-06×40589641000000     		ar = 2283.22418029411m²