Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119694 / 118562
↖ ↑ ↗
← S 80.998311°
E148.749390°		 ← 47.79 m → S 80.998311°
E148.752136°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
S 80.998741°
E148.749390°		 ← 47.79 m →
2 283 m²		 S 80.998741°
E148.752136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913196563720703 y=0.904560089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913196563720703 × 217)
    floor (0.913196563720703 × 131072)
    floor (119694.5)     		tx = 119694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904560089111328 × 217)
    floor (0.904560089111328 × 131072)
    floor (118562.5)     		ty = 118562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119694 / 118562 ti = "17/119694/118562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119694/118562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119694 ÷ 217
    119694 ÷ 131072     		x = 0.913192749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118562 ÷ 217
    118562 ÷ 131072     		y = 0.904556274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913192749023438 × 2 - 1) × π
    0.826385498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59616661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904556274414062 × 2 - 1) × π
    -0.809112548828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5419020392531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59616661} λ = 2.59616661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5419020392531))-π/2
    2×atan(0.0787165353717074)-π/2
    2×0.0785545535877291-π/2
    0.157109107175458-1.57079632675     		φ = -1.41368722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59616661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.749390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41368722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.998311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119694 KachelY 118562 2.59616661 -1.41368722 148.749390 -80.998311
    Oben rechts KachelX + 1 119695 KachelY 118562 2.59621455 -1.41368722 148.752136 -80.998311
    Unten links KachelX 119694 KachelY + 1 118563 2.59616661 -1.41369472 148.749390 -80.998741
    Unten rechts KachelX + 1 119695 KachelY + 1 118563 2.59621455 -1.41369472 148.752136 -80.998741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41368722--1.41369472) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dl = 47.7825000010204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41368722--1.41369472) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dr = 47.7825000010204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59616661-2.59621455) × cos(-1.41368722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156463576212414 × 6371000     		do = 47.7880035476917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59616661-2.59621455) × cos(-1.41369472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156456168580043 × 6371000     		du = 47.7857410660931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41368722)-sin(-1.41369472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156463576212414-0.156456168580043)×R²
    abs(2.59621455-2.59616661)×7.40763237111475e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40763237111475e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40763237111475e-06×40589641000000     		ar = 2283.37622614853m²