Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119687 / 119727
↖ ↑ ↗
← S 81.485395°
E148.730163°		 ← 45.22 m → S 81.485395°
E148.732910°		 →
↑
45.23 m
↓
↑
45.23 m
↓
S 81.485802°
E148.730163°		 ← 45.22 m →
2 046 m²		 S 81.485802°
E148.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913143157958984 y=0.913448333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913143157958984 × 217)
    floor (0.913143157958984 × 131072)
    floor (119687.5)     		tx = 119687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913448333740234 × 217)
    floor (0.913448333740234 × 131072)
    floor (119727.5)     		ty = 119727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119687 / 119727 ti = "17/119687/119727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119687/119727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119687 ÷ 217
    119687 ÷ 131072     		x = 0.913139343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119727 ÷ 217
    119727 ÷ 131072     		y = 0.913444519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913139343261719 × 2 - 1) × π
    0.826278686523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.59583105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913444519042969 × 2 - 1) × π
    -0.826889038085938 × 3.1415926535     		Φ = -2.59774852731046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59583105} λ = 2.59583105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59774852731046))-π/2
    2×atan(0.0744409915397827)-π/2
    2×0.0743039429656651-π/2
    0.14860788593133-1.57079632675     		φ = -1.42218844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59583105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.730163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42218844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.485395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119687 KachelY 119727 2.59583105 -1.42218844 148.730163 -81.485395
    Oben rechts KachelX + 1 119688 KachelY 119727 2.59587899 -1.42218844 148.732910 -81.485395
    Unten links KachelX 119687 KachelY + 1 119728 2.59583105 -1.42219554 148.730163 -81.485802
    Unten rechts KachelX + 1 119688 KachelY + 1 119728 2.59587899 -1.42219554 148.732910 -81.485802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42218844--1.42219554) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dl = 45.2340999995324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42218844--1.42219554) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dr = 45.2340999995324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59583105-2.59587899) × cos(-1.42218844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148061506839808 × 6371000     		do = 45.2217952920337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59583105-2.59587899) × cos(-1.42219554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148054485091179 × 6371000     		du = 45.2196506692626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42218844)-sin(-1.42219554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148061506839808-0.148054485091179)×R²
    abs(2.59587899-2.59583105)×7.0217486290991e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.0217486290991e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.0217486290991e-06×40589641000000     		ar = 2045.51870526579m²