Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119685 / 119691
↖ ↑ ↗
← S 81.470743°
E148.724671°		 ← 45.29 m → S 81.470743°
E148.727417°		 →
↑
45.30 m
↓
↑
45.30 m
↓
S 81.471150°
E148.724671°		 ← 45.29 m →
2 051 m²		 S 81.471150°
E148.727417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913127899169922 y=0.913173675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913127899169922 × 217)
    floor (0.913127899169922 × 131072)
    floor (119685.5)     		tx = 119685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913173675537109 × 217)
    floor (0.913173675537109 × 131072)
    floor (119691.5)     		ty = 119691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119685 / 119691 ti = "17/119685/119691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119685/119691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119685 ÷ 217
    119685 ÷ 131072     		x = 0.913124084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119691 ÷ 217
    119691 ÷ 131072     		y = 0.913169860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913124084472656 × 2 - 1) × π
    0.826248168945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.59573518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913169860839844 × 2 - 1) × π
    -0.826339721679688 × 3.1415926535     		Φ = -2.59602279892414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59573518} λ = 2.59573518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59602279892414))-π/2
    2×atan(0.0745695673835709)-π/2
    2×0.0744318090201241-π/2
    0.148863618040248-1.57079632675     		φ = -1.42193271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59573518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.724671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42193271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.470743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119685 KachelY 119691 2.59573518 -1.42193271 148.724671 -81.470743
    Oben rechts KachelX + 1 119686 KachelY 119691 2.59578311 -1.42193271 148.727417 -81.470743
    Unten links KachelX 119685 KachelY + 1 119692 2.59573518 -1.42193982 148.724671 -81.471150
    Unten rechts KachelX + 1 119686 KachelY + 1 119692 2.59578311 -1.42193982 148.727417 -81.471150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42193271--1.42193982) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dl = 45.2978099991452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42193271--1.42193982) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dr = 45.2978099991452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59573518-2.59578311) × cos(-1.42193271) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148314413379065 × 6371000     		do = 45.2895903477183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59573518-2.59578311) × cos(-1.42193982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148307382010079 × 6371000     		du = 45.2874432346109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42193271)-sin(-1.42193982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148314413379065-0.148307382010079)×R²
    abs(2.59578311-2.59573518)×7.03136898619339e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.03136898619339e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.03136898619339e-06×40589641000000     		ar = 2051.47062877029m²