Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119684 / 118148
↖ ↑ ↗
← S 80.818644°
E148.721924°		 ← 48.73 m → S 80.818644°
E148.724671°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.819082°
E148.721924°		 ← 48.73 m →
2 372 m²		 S 80.819082°
E148.724671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913120269775391 y=0.901401519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913120269775391 × 217)
    floor (0.913120269775391 × 131072)
    floor (119684.5)     		tx = 119684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901401519775391 × 217)
    floor (0.901401519775391 × 131072)
    floor (118148.5)     		ty = 118148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119684 / 118148 ti = "17/119684/118148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119684/118148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119684 ÷ 217
    119684 ÷ 131072     		x = 0.913116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118148 ÷ 217
    118148 ÷ 131072     		y = 0.901397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913116455078125 × 2 - 1) × π
    0.82623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59568724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.80279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52205616281039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59568724} λ = 2.59568724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52205616281039))-π/2
    2×atan(0.0802943386656658)-π/2
    2×0.080122445738758-π/2
    0.160244891477516-1.57079632675     		φ = -1.41055144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59568724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.721924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41055144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.818644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119684 KachelY 118148 2.59568724 -1.41055144 148.721924 -80.818644
    Oben rechts KachelX + 1 119685 KachelY 118148 2.59573518 -1.41055144 148.724671 -80.818644
    Unten links KachelX 119684 KachelY + 1 118149 2.59568724 -1.41055908 148.721924 -80.819082
    Unten rechts KachelX + 1 119685 KachelY + 1 118149 2.59573518 -1.41055908 148.724671 -80.819082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41055144--1.41055908) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41055144--1.41055908) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59568724-2.59573518) × cos(-1.41055144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15955996075997 × 6371000     		do = 48.7337190894528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59568724-2.59573518) × cos(-1.41055908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159552418637168 × 6371000     		du = 48.731415531015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41055144)-sin(-1.41055908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15955996075997-0.159552418637168)×R²
    abs(2.59573518-2.59568724)×7.54212280143496e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54212280143496e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54212280143496e-06×40589641000000     		ar = 2372.0304235709m²