Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119684 / 118139
↖ ↑ ↗
← S 80.814699°
E148.721924°		 ← 48.75 m → S 80.814699°
E148.724671°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
S 80.815137°
E148.721924°		 ← 48.75 m →
2 376 m²		 S 80.815137°
E148.724671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913120269775391 y=0.901332855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913120269775391 × 217)
    floor (0.913120269775391 × 131072)
    floor (119684.5)     		tx = 119684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901332855224609 × 217)
    floor (0.901332855224609 × 131072)
    floor (118139.5)     		ty = 118139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119684 / 118139 ti = "17/119684/118139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119684/118139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119684 ÷ 217
    119684 ÷ 131072     		x = 0.913116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118139 ÷ 217
    118139 ÷ 131072     		y = 0.901329040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913116455078125 × 2 - 1) × π
    0.82623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59568724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901329040527344 × 2 - 1) × π
    -0.802658081054688 × 3.1415926535     		Φ = -2.52162473071381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59568724} λ = 2.59568724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52162473071381))-π/2
    2×atan(0.0803289876943539)-π/2
    2×0.0801568727147133-π/2
    0.160313745429427-1.57079632675     		φ = -1.41048258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59568724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.721924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41048258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.814699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119684 KachelY 118139 2.59568724 -1.41048258 148.721924 -80.814699
    Oben rechts KachelX + 1 119685 KachelY 118139 2.59573518 -1.41048258 148.724671 -80.814699
    Unten links KachelX 119684 KachelY + 1 118140 2.59568724 -1.41049023 148.721924 -80.815137
    Unten rechts KachelX + 1 119685 KachelY + 1 118140 2.59573518 -1.41049023 148.724671 -80.815137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41048258--1.41049023) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41048258--1.41049023) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59568724-2.59573518) × cos(-1.41048258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159627938163751 × 6371000     		do = 48.7544811383058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59568724-2.59573518) × cos(-1.41049023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159620386253123 × 6371000     		du = 48.7521745904141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41048258)-sin(-1.41049023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159627938163751-0.159620386253123)×R²
    abs(2.59573518-2.59568724)×7.55191062720706e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.55191062720706e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.55191062720706e-06×40589641000000     		ar = 2376.14700648453m²